18. Тип 18 № 4013 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠ACB = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и Ү, AX = BХ И ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка AY, если АX = 20.

Дано: треугольник $$ABC$$, $$AB=BC$$, $$\angle ACB = 75^{\circ}$$, точки $$X$$ и $$Y$$ на стороне $$BC$$, $$X$$ лежит между $$B$$ и $$Y$$, $$AX = BX$$ и $$\angle BAX = \angle YAX$$, $$AX = 20$$. Найти $$AY$$. Так как $$AB = BC$$, то $$\triangle ABC$$ - равнобедренный. Значит, $$\angle BAC = \angle ACB = 75^{\circ}$$. Тогда $$\angle ABC = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 75^{\circ} = 30^{\circ}$$. Так как $$AX = BX$$, то $$\triangle ABX$$ - равнобедренный, и $$\angle BAX = \angle ABX = 30^{\circ}$$. Тогда $$\angle AXB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$$. $$ По условию $$\angle BAX = \angle YAX = 30^{\circ}$$. Значит, $$\angle BAY = \angle BAX + \angle YAX = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$$. Рассмотрим треугольник $$ABX$$. По теореме синусов: $$\frac{AX}{\sin(\angle ABX)} = \frac{AB}{\sin(\angle AXB)}$$ $$\frac{20}{\sin(30^{\circ})} = \frac{AB}{\sin(120^{\circ})}$$ $$\frac{20}{0.5} = \frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ $$40 = \frac{2AB}{\sqrt{3}}$$ $$AB = 20\sqrt{3}$$ Рассмотрим треугольник $$ABY$$. Известно, что $$AB = 20\sqrt{3}$$, $$\angle BAY = 60^{\circ}$$, $$\angle ABC = 30^{\circ}$$. Тогда $$\angle AYB = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ}$$. Значит, $$\triangle ABY$$ - прямоугольный. $$\sin(\angle ABY) = \frac{AY}{AB}$$ $$\sin(30^{\circ}) = \frac{AY}{20\sqrt{3}}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{AY}{20\sqrt{3}}$$ $$AY = 10\sqrt{3}$$ Ответ: $$10\sqrt{3}$$