19. Тип 18 № 6801 В прямоугольной трапеции АВСD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссек- трисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 4√2. Запишите решение и ответ.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC основания, угол A равен 45°, AC - биссектриса угла A, BC = (4\sqrt{2}). 1. Так как AC - биссектриса угла A, то угол CAD = углу BAC = 45°/2 = 22.5°. Но так как угол A = 45°, то угол между боковой стороной AB и основанием AD равен 90°, следовательно, трапеция прямоугольная. 2. Проведём высоту CH к основанию AD. Рассмотрим треугольник ACH. Угол CAH = 22.5°, угол CHA = 90°, следовательно, угол ACH = 90° - 22.5° = 67.5°. 3. Так как угол BAC = углу CAD = 22.5°, а угол BCA = углу CAD как внутренние накрест лежащие углы, то угол BCA = 22.5°. Значит, треугольник ABC - равнобедренный, и AB = BC = (4\sqrt{2}). 4. В прямоугольном треугольнике CHD: CD = AB = (4\sqrt{2}). Угол CDH = 45° (так как трапеция прямоугольная и угол A = 45°). Тогда CH = CD * sin(45°) = (4\sqrt{2} * \frac{\sqrt{2}}{2}) = 4. 5. DH = CD * cos(45°) = (4\sqrt{2} * \frac{\sqrt{2}}{2}) = 4. 6. AD = BC + DH = (4\sqrt{2}) + 4. 7. Рассмотрим треугольник ABD. AB = (4\sqrt{2}), AD = (4\sqrt{2}) + 4. Треугольник ABD - прямоугольный (угол A = 90°). 8. По теореме Пифагора: (BD^2 = AB^2 + AD^2) (BD^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2} + 4)^2) (BD^2 = 32 + (32 + 32\sqrt{2} + 16)) (BD^2 = 32 + 48 + 32\sqrt{2}) (BD^2 = 80 + 32\sqrt{2}) (BD = \sqrt{80 + 32\sqrt{2}} = \sqrt{16(5 + 2\sqrt{2})} = 4\sqrt{5 + 2\sqrt{2}}) Ответ: (4\sqrt{5 + 2\sqrt{2}})