11. Тип 17 № 323356 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Раз в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 45°, то и другой острый угол равен 45° (потому что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°). Это означает, что треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником, где катеты равны.

Пусть катеты равны $$a$$. По теореме Пифагора:

$$a^2 + a^2 = 70^2$$ $$2a^2 = 4900$$ $$a^2 = 2450$$ $$a = \sqrt{2450} = \sqrt{25 \cdot 49 \cdot 2} = 5 \cdot 7 \cdot \sqrt{2} = 35\sqrt{2}$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} (35\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2450 = 1225$$

Ответ: 1225