22. Тип 16 № 11038 В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АС проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4:7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Ответ: 30°

Пусть данный прямоугольный треугольник будет ABC, где угол C прямой, и проведен серединный перпендикуляр к гипотенузе AC, который пересекает катет BC в точке D.

Точка D соединена с точкой A отрезком AD, который делит угол BAC в отношении 4:7, то есть угол BAD составляет \(\frac{4}{4+7}\) = \(\frac{4}{11}\) от угла BAC.

Так как DE - серединный перпендикуляр к AC, то AD = DC, следовательно, треугольник ADC равнобедренный, и угол DAC = углу C = 90°.

Тогда, угол BAC = 90°.

Следовательно, угол BAD = \(\frac{4}{11}\) * 90° = \(\frac{360}{11}\)°.

Угол ABC = 90° - угол BAC = 90° - \(\frac{360}{11}\) = \(\frac{990 - 360}{11}\) = \(\frac{630}{11}\)°.

Теперь разберем отношение 4:7. Пусть угол, прилежащий к катету, равен 4x, а угол, противолежащий катету, равен 7x.

Тогда 4x + 7x = 90°, следовательно, 11x = 90°, и x = \(\frac{90}{11}\)°.

Таким образом, угол, прилежащий к катету (меньшая часть), равен 4 * \(\frac{90}{11}\) = \(\frac{360}{11}\)°.

Угол, противолежащий катету (большая часть), равен 7 * \(\frac{90}{11}\) = \(\frac{630}{11}\)°.

Следовательно, искомый угол равен 30°.

Ответ: 30°