18. Тип 17 № 9294. В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 7, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Для решения этой задачи, обозначим количество головок сыра в погребе как x. Также предположим, что в первую ночь мышек было n. Тогда каждая мышка в первую ночь съела $$\frac{9}{n}$$ головок сыра. Во вторую ночь осталось $$x - 9$$ головок сыра. Мышек было 7, и каждая съела в три раза меньше, чем в первую ночь, то есть $$\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{n} = \frac{3}{n}$$ головок сыра. Таким образом, $$7 \cdot \frac{3}{n} = x - 9$$. Из первого уравнения мы знаем, что $$n = \frac{9}{\frac{9}{n}}$$. Подставим это во второе уравнение. $$\frac{21}{n} = x - 9$$ $$n = \frac{21}{x-9}$$ Теперь приравняем два выражения для n: $$\frac{9}{\frac{9}{n}} = \frac{21}{x-9}$$ Так как мы знаем, что в первую ночь съели 9 головок сыра, то $$n = \frac{9}{\frac{9}{n}}$$. Подставляем это выражение во второе уравнение: $$\frac{21}{n} = x - 9$$
Получаем $$\frac{21}{\frac{9}{\frac{9}{n}}} = x - 9$$ Из условия, что мышки съели 9 головок сыра в первую ночь, следует, что количество мышек должно быть делителем числа 9, то есть 1, 3 или 9. Предположим, что мышек было 3. Тогда каждая мышка съела $$\frac{9}{3} = 3$$ головки сыра. Во вторую ночь каждая мышка съела бы $$\frac{3}{3} = 1$$ головку сыра, и всего было съедено 7 головок. Значит, всего сыра было $$9 + 7 = 16$$ головок. Проверим, подходит ли это решение. Если $$x=16$$, то во вторую ночь осталось $$16-9=7$$ головок. Семь мышек съели по одной головке, что в три раза меньше, чем в первую ночь (3 головки). Предположим, что мышек было 9. Тогда каждая мышка съела $$\frac{9}{9} = 1$$ головку сыра. Во вторую ночь каждая мышка съела бы $$\frac{1}{3}$$ головки сыра, и всего было съедено $$7 \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$. Это не целое число, значит, решение не подходит. Таким образом, в погребе хранилось 16 головок сыра.