9. Тип 9 № 7324 В параллелограмме АВСD диагональ АС в 2 раза больше сто- роны АВ и ZACD = 169°. Найдите меньший угол между диагона- параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть \( AB = x \), тогда \( AC = 2x \).

В треугольнике \( ABC \) сторона \( BC = AB = x \), так как это параллелограмм. Значит, треугольник \( ABC \) — равнобедренный, и \( AB = BC \).

Угол \( BCA = \angle CAD \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AC \).

Пусть \( \angle BAC = \angle BCA = y \).

Тогда \( \angle ACD = 169^\circ \), следовательно, \( \angle ACB = y = \angle ACD - \angle BCD \).

Также, \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ \) (сумма углов треугольника).

В параллелограмме \( ABCD \) углы \( BAD \) и \( BCD \) равны, то есть \( \angle BCD = \angle BAD \). \( \angle BAC + \angle CAD = \angle BAD \).

Пусть \( \angle CAD = z \). Тогда \( y + z = \angle BAD \). Зная, что \( \angle BCD = 169^\circ \), получаем \( \angle BAD = 169^\circ \).

Получаем уравнение для треугольника \( ABC \): \( y + y + \angle ABC = 180^\circ \). Так как \( \angle ABC + \angle BCD = 180^\circ \) (смежные углы параллелограмма), то \( \angle ABC = 180^\circ - 169^\circ = 11^\circ \).

Значит, \( 2y + 11^\circ = 180^\circ \), \( 2y = 169^\circ \), \( y = 84,5^\circ \).

Теперь найдем угол \( z = \angle CAD \): \( z = \angle BAD - y = 169^\circ - 84,5^\circ = 84,5^\circ \).

Меньший угол между диагоналями — это угол между \( AC \) и \( BD \). Рассмотрим точку пересечения диагоналей как точку \( O \). Тогда \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \) — смежные, следовательно, их сумма \( 180^\circ \).

Рассмотрим треугольник \( AOB \). \( \angle OAB = 84,5^\circ \). Найдем угол \( ABO \): \( \angle ABO = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 11^\circ = 5,5^\circ \).

Тогда \( \angle AOB = 180^\circ - (84,5^\circ + 5,5^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Ответ: 11