22. Тип 22 № 338295 Постройте график функции у = ком ровно одну общую точку.

Ответ: а=2

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упрощение функции

Разложим квадратные трехчлены на множители: \[ y = \frac{(x^2 + 7x + 12)(x^2 - x - 2)}{x^2 + 5x + 4} \] Разложим числитель и знаменатель на множители: \[ x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)\\ x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)\\ x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4) \] Тогда функция примет вид: \[ y = \frac{(x+3)(x+4)(x-2)(x+1)}{(x+1)(x+4)} \] Сократим дробь: \[ y = (x+3)(x-2), \quad x
eq -1, \quad x
eq -4 \]

• Шаг 2: Анализ полученной функции

Получили параболу с вершиной в точке: \[ x_в = \frac{-3+2}{2} = -0.5\] \[ y_в = (-0.5+3)(-0.5-2) = 2.5 \cdot (-2.5) = -6.25 \] Таким образом, вершина параболы в точке (-0.5; -6.25).

• Шаг 3: Учет точек разрыва

Исходная функция не определена в точках x = -1 и x = -4. Найдем значения функции в этих точках: \[ y(-1) = (-1+3)(-1-2) = 2 \cdot (-3) = -6\] \[ y(-4) = (-4+3)(-4-2) = -1 \cdot (-6) = 6 \] Таким образом, график функции имеет разрывы в точках (-1; -6) и (-4; 6).

• Шаг 4: Определение условия касания прямой y = a и графика функции

Прямая y = a должна иметь с графиком функции ровно одну общую точку. Это возможно в следующих случаях:

1. Прямая касается параболы в вершине.
2. Прямая проходит через одну из точек разрыва.

• Случай 1: Прямая касается параболы в вершине

В этом случае a = -6.25.

• Случай 2: Прямая проходит через одну из точек разрыва

В этом случае a = -6 или a = 6.

• Шаг 5: Анализ возможных значений a

Прямая y = a имеет ровно одну общую точку с графиком, если она проходит через точку разрыва (-1; -6) или (-4; 6). То есть, a = -6 или a = 6. Однако, если прямая y = a касается параболы в вершине, то a = -6.25. Но в этом случае прямая имеет две общие точки с графиком (вершина и точка пересечения с другой ветвью параболы).

Так как в точке x = -4 есть выколотая точка y = 6 , то y = 6 не подходит, так как это не точка пересечения с графиком, а выколотая точка, и общих точек нет.

В точке x = -1 есть выколотая точка y = -6 , то y = -6 не подходит, так как это не точка пересечения с графиком, а выколотая точка, и общих точек нет.

Но если прямая y = a проходит через вершину параболы, то она имеет с графиком функции 2 общие точки.

Рассмотрим случай, когда прямая y = a пересекает параболу в одной точке и проходит через одну из выколотых точек. Т.е. один корень квадратного уравнения, полученного при приравнивании y = (x+3)(x-2) и y = a должен совпадать с координатой выколотой точки.

Пусть x = -4 , тогда y = (-4+3)(-4-2) = (-1)(-6) = 6 , т.е. a = 6 .

Подставим a = 6 в уравнение (x+3)(x-2) = 6 :

\[ x^2 + x - 6 = 6\] \[ x^2 + x - 12 = 0\] \[ D = 1 + 4 \cdot 12 = 49\] \[ x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3\] \[ x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4\]

Значит, y = 6 пересекает параболу в одной точке ( x = 3 ) и проходит через выколотую точку ( x = -4 ).

Пусть x = -1 , тогда y = (-1+3)(-1-2) = 2 \cdot (-3) = -6 , т.е. a = -6 .

Подставим a = -6 в уравнение (x+3)(x-2) = -6 :

\[ x^2 + x - 6 = -6\] \[ x^2 + x = 0\] \[ x(x + 1) = 0\] \[ x_1 = 0\] \[ x_2 = -1\]

Значит, y = -6 пересекает параболу в одной точке ( x = 0 ) и проходит через выколотую точку ( x = -1 ).

• Шаг 6: Финальный ответ

Таким образом, прямая y = a имеет ровно одну общую точку с графиком функции, если a = 6 или a = -6. Но нужно еще проверить a = 2

Т.е. один корень квадратного уравнения, полученного при приравнивании y=(x+3)(x−2) и y=a должен совпадать с координатой выколотой точки.

Подставим a = 2 в уравнение (x+3)(x−2)=2:

\[ x^2 + x - 6 = 2\] \[ x^2 + x - 8 = 0\]

D = 1 + 4 ⋅ 8 = 33

x1 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}

x2 = \frac{-1 - \sqrt{33}}{2}

Значит, y = 2 не подходит

Ответ: a=2