5. Тип 5 № 1567 Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 20 °С. После установления теплового равновесия температура воды в чашке составила 80 °С. Удельные теплоёмкости чая и воды одинаковы и равны с = 4200 Дж/(кг * С). Потерями теплоты можно пренебречь. 1) Найдите отношение количества теплоты, отданной чаем, к количеству теплоты, полученному водой. 2) Найдите отношение массы чая к массе воды. 3) Так как чай всё ещё был слишком горячим, Маша добавила в него ещё одну точно такую же порцию холодной воды. Какой станет температура чая после установления нового теплового равновесия? Напишите полное решение этой задачи.

Решение: 1) Пусть (m_ч) - масса чая, (m_в) - масса добавленной воды. Температура чая (t_ч = 100^circ C), температура воды (t_в = 20^circ C). Конечная температура смеси (t_{кон} = 80^circ C). Количество теплоты, отданное чаем: (Q_ч = c m_ч (t_ч - t_{кон})) Количество теплоты, полученное водой: (Q_в = c m_в (t_{кон} - t_в)) Отношение количества теплоты, отданной чаем, к количеству теплоты, полученному водой: \[ \frac{Q_ч}{Q_в} = \frac{c m_ч (t_ч - t_{кон})}{c m_в (t_{кон} - t_в)} = \frac{m_ч (100 - 80)}{m_в (80 - 20)} = \frac{20 m_ч}{60 m_в} = \frac{m_ч}{3 m_в} \] По закону сохранения энергии, (Q_ч = Q_в), поэтому (\frac{Q_ч}{Q_в} = 1). Ответ: 1 2) Из равенства теплот (Q_ч = Q_в) следует, что (c m_ч (t_ч - t_{кон}) = c m_в (t_{кон} - t_в)). Следовательно, (m_ч (100 - 80) = m_в (80 - 20)), или (20 m_ч = 60 m_в). Отсюда (\frac{m_ч}{m_в} = \frac{60}{20} = 3). Ответ: 3 3) Теперь к чаю массой (m_ч) и температуре 80°C добавили еще воды массой (m_в) и температурой 20°C. Пусть (t) - новая температура равновесия. Количество теплоты, отданное чаем: (Q'_ч = c m_ч (t_{кон} - t) = c m_ч (80 - t)) Количество теплоты, полученное водой: (Q'_в = c m_в (t - t_в) = c m_в (t - 20)) По закону сохранения энергии, (Q'_ч = Q'_в), следовательно, (c m_ч (80 - t) = c m_в (t - 20)). Учитывая, что (m_ч = 3 m_в), получаем: \[ 3 m_в (80 - t) = m_в (t - 20) \] Сокращаем на (m_в): \[ 3 (80 - t) = t - 20 \] \[ 240 - 3t = t - 20 \] \[ 4t = 260 \] \[ t = \frac{260}{4} = 65 \] Ответ: 65 °C