14. Тип 16 № 8363 Биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC параллельна стороне AC. Найдите величину угла CAB, если \(\angle ABC = 30^{\circ}\). Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение: 1. Поскольку биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна стороне AC, то угол между биссектрисой и стороной BC равен углу C, а угол между биссектрисой и стороной AB равен углу A. Так как биссектриса делит внешний угол пополам, то эти углы равны. 2. Сумма углов треугольника равна 180 градусам: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\). 3. Внешний угол при вершине B равен 180 - \(\angle B\), а половина этого угла (угол между биссектрисой и BC или AB) равна \(\frac{180^{\circ} - \angle B}{2}\). 4. Тогда \(\angle A = \angle C = \frac{180^{\circ} - \angle B}{2}\). 5. Подставляем это в уравнение для суммы углов треугольника: \(\frac{180^{\circ} - \angle B}{2} + \angle B + \frac{180^{\circ} - \angle B}{2} = 180^{\circ}\). 6. Упрощаем: \(180^{\circ} - \angle B + \angle B = 180^{\circ}\). 7. Но у нас \(\angle B = 30^{\circ}\), значит \(\angle A = \angle C = \frac{180^{\circ} - 30^{\circ}}{2} = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ}\). 8. Таким образом, \(\angle CAB = 75^{\circ}\). Ответ: 75