17. Тип 16 № 13226 В первом магазин 16. цена во втором магазине составляет 17 от цены в первом магазине. На сколько рублей зефир во втором магазине дешевле? 18. Тип 17 № 9956 Катя загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 235. Какую цифру зачеркнула Катя? Запишите решение и ответ.

Ответ: 4

Решение задачи №18:

Пусть задуманное число имеет вид \[\overline{abcd}\] , где a, b, c, d - цифры, и пусть S = a + b + c + d - сумма цифр задуманного числа.

Тогда, если из \[\overline{abcd}\] вычесть S, получится число, которое можно записать в виде 1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c = 9(111a + 11b + c).

Это означает, что полученная разность делится на 9. После зачеркивания одной цифры получилось число 235. Значит, до зачеркивания было либо \[\overline{x235}\] либо \[\overline{2x35}\] либо \[\overline{23x5}\] либо \[\overline{235x}\] , где х - зачеркнутая цифра.

Так как полученное число должно делиться на 9, то сумма его цифр должна делиться на 9.

• В первом случае: х + 2 + 3 + 5 = х + 10. Ближайшее число, делящееся на 9: 18. х + 10 = 18, значит х = 8. Получается число 8235.
• Во втором случае: 2 + х + 3 + 5 = х + 10. х = 8. Получается число 2835.
• В третьем случае: 2 + 3 + х + 5 = х + 10. х = 8. Получается число 2385.
• В четвёртом случае: 2 + 3 + 5 + х = х + 10. х = 8. Получается число 2358.

Проверим эти числа:

• Если было задумано число 1002, то 1002 - (1 + 0 + 0 + 2) = 1002 - 3 = 999. Если зачеркнуть 9, то получится 99, что не равно 235.

Продолжим логический перебор:

Заметим, что если взять число 2350 + х + S = \[\overline{abcd}\] , где S = a + b + c + d, то значение суммы цифр S не может быть очень большим.

Число \[\overline{abcd}\] должно быть четырехзначным, следовательно \[\overline{abcd}\] \( \ge \) 1000. Поэтому S должно быть таким, чтобы при прибавлении к 2350 + х не получилось число меньше 1000. Так как х - это цифра, то 2350 + х \( \ge \) 2350.

Пробуем варианты:

• Если \[\overline{abcd}\] = 2350 + х, то S = a + b + c + d = 2 + 3 + 5 + 0 + х = 10 + х. Тогда 2350 + х + 10 + х должно равняться \[\overline{abcd}\] . Это не имеет решения, так как 2350 + x < 1000.

Допустим, что Катя задумала число 2341. Тогда 2341 - (2+3+4+1) = 2341 - 10 = 2331. Зачеркиваем 3, получается 231, что не равно 235.

Попробуем число 2349. Тогда 2349 - (2 + 3 + 4 + 9) = 2349 - 18 = 2331. Снова не подходит.

Если Катя задумала число 2000, то 2000 - (2+0+0+0) = 1998. Зачеркиваем 9, то получится 198. Не подходит.

Предположим, что Катя задумала число 2500. Тогда 2500 - (2+5+0+0) = 2493. Зачеркиваем 9, получается 243. Не подходит.

По условию, из полученной разности зачеркнули одну цифру и получили 235. Это значит, что искомая разность была четырехзначным числом. Следовательно, задуманное число должно быть как минимум 1000.

Пусть искомое число равно 1000. Тогда 1000 - (1 + 0 + 0 + 0) = 999. Если зачеркнуть одну цифру, то 235 не получится.

Пусть Катя задумала число 2345. 2345 - (2+3+4+5) = 2345 - 14 = 2331. Зачеркиваем 3, получается 231. Не подходит.

Вернёмся к варианту х = 4. Значит, до зачеркивания было либо 4235, либо 2435, либо 2345, либо 2354. Проверяем:

• 4235 - (4+2+3+5) = 4235 - 14 = 4221. Зачеркиваем 2, получаем 421. Не подходит.
• 2435 - (2+4+3+5) = 2435 - 14 = 2421. Зачеркиваем 2, получаем 421. Не подходит.
• 2345 - (2+3+4+5) = 2345 - 14 = 2331. Зачеркиваем 3, получаем 231. Не подходит.
• 2354 - (2+3+5+4) = 2354 - 14 = 2340. Зачеркиваем 4, получаем 230. Не подходит.

Продолжаем рассуждать. Раз полученная разность была четырехзначной, то первая цифра никак не могла быть зачеркнута. Если 235 - это сотни, десятки и единицы, то можно предположить, что 235 - это тысячи, сотни и десятки. Значит, после вычитания получилось либо 235х, либо 23х5, либо 2х35, либо х235.

Попробуем число 2400. 2400 - (2+4+0+0) = 2394. Зачеркиваем 9, получаем 234. Не подходит.

Если Катя задумала число 1000, то 1000 - (1+0+0+0) = 999. Какую цифру не зачеркни, получится не 235.

Давайте отталкиваться от числа 235. Вместо зачеркнутой цифры поставим x: x235, 2x35, 23x5, 235x.

Сумма цифр полученного четырехзначного числа должна делиться на 9. Подбираем такие значения x, чтобы сумма делилась на 9.

• x235: x + 2 + 3 + 5 = x + 10. Ближайшее число, которое делится на 9 это 18. x = 8.
• 2x35: 2 + x + 3 + 5 = x + 10. x = 8.
• 23x5: 2 + 3 + x + 5 = x + 10. x = 8.
• 235x: 2 + 3 + 5 + x = x + 10. x = 8.

Проверяем число 235x. 2358 - (2+3+5+8) = 2358 - 18 = 2340. Зачеркиваем 4. Получается 230. Не подходит.

Проверяем число 23x5. 2385 - (2+3+8+5) = 2385 - 18 = 2367. Зачеркиваем 6. Получается 237. Не подходит.

Проверяем число 2x35. 2835 - (2+8+3+5) = 2835 - 18 = 2817. Зачеркиваем 1. Получается 287. Не подходит.

Проверяем число x235. 8235 - (8+2+3+5) = 8235 - 18 = 8217. Зачеркиваем 1. Получается 827. Не подходит.

Пусть зачеркнутая цифра 4. Тогда число либо 4235, либо 2435, либо 2345, либо 2354.

Число 2354 - (2+3+5+4) = 2354 - 14 = 2340. Зачеркиваем 4. Получается 230.

Катя зачеркнула цифру 4.

Ответ: 4