18. Тип 17 № 2039. Олег и Аня не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Олег думает, что нужно от числителя отнять 4, а от знаменателя отнять 3. Олег делает так: $$\frac{8}{6} = \frac{8-4}{6-3} = \frac{4}{3}$$. Аня считает, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Аня делает так: $$\frac{6}{4} = \frac{6-3}{4-2} = \frac{3}{2}$$. Олег и Аня (не обязательно по очереди) тридцать раз «сократили» дробь $$\frac{2018}{2019}$$ по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1952. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Пусть Олег сделал $$x$$ операций, а Аня сделала $$y$$ операций, где $$x + y = 30$$. После $$x$$ операций Олега и $$y$$ операций Ани дробь примет вид: $$\frac{2018 - 4x - 3y}{2019 - 3x - 2y}$$. Знаменатель этой дроби равен 1952, то есть $$2019 - 3x - 2y = 1952$$. Отсюда $$3x + 2y = 2019 - 1952 = 67$$. У нас есть система уравнений: \begin{cases} x + y = 30 \\ 3x + 2y = 67 \end{cases} Умножим первое уравнение на 2: $$2x + 2y = 60$$. Вычтем это уравнение из второго: $$(3x + 2y) - (2x + 2y) = 67 - 60$$, то есть $$x = 7$$. Тогда $$y = 30 - x = 30 - 7 = 23$$. Теперь найдем числитель: $$2018 - 4x - 3y = 2018 - 4 * 7 - 3 * 23 = 2018 - 28 - 69 = 2018 - 97 = 1921$$. Ответ: **1921**.