Тип 15 № 3814: Катер прошёл по течению реки 80 км, повернув обратно, он прошёл ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч

Пусть $$v$$ - собственная скорость катера (км/ч). Тогда скорость катера по течению равна $$v + 5$$ км/ч, а против течения – $$v - 5$$ км/ч. Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{80}{v+5}$$ часов, а время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{60}{v-5}$$ часов. Общее время, затраченное на весь путь, составляет 10 часов. Составим уравнение: $$\frac{80}{v+5} + \frac{60}{v-5} = 10$$ Умножим обе части уравнения на $$(v+5)(v-5)$$: $$80(v-5) + 60(v+5) = 10(v^2 - 25)$$ $$80v - 400 + 60v + 300 = 10v^2 - 250$$ $$140v - 100 = 10v^2 - 250$$ $$10v^2 - 140v - 150 = 0$$ $$v^2 - 14v - 15 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$v = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(1)(-15)}}{2(1)}$$ $$v = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 60}}{2}$$ $$v = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2}$$ $$v = \frac{14 \pm 16}{2}$$ Получаем два возможных значения для $$v$$: $$v_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ $$v_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость катера равна 15 км/ч. Ответ: 15 км/ч