3 Тип 3 № 7219 i Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 1130. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 2 больше первой. Ответ:

Решение:

Пусть первая цифра задуманного числа х, тогда вторая цифра х + 2. Задуманное число можно представить как 10х + (х + 2). После перестановки цифр получается число 10(х + 2) + х. По условию задачи, сумма квадратов этих чисел равна 1130, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} (10x + x + 2)^2 + (10(x + 2) + x)^2 = 1130 \\ (11x + 2)^2 + (11x + 20)^2 = 1130 \\ 121x^2 + 44x + 4 + 121x^2 + 440x + 400 = 1130 \\ 242x^2 + 484x + 404 - 1130 = 0 \\ 242x^2 + 484x - 726 = 0 \\ 11(22x^2 + 44x - 66) = 0 \\ 22x^2 + 44x - 66 = 0 \\ x^2 + 2x - 3 = 0 \end{gathered}$$

По теореме Виета найдем корни уравнения:

$$\begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 \times x_2 = -3 \end{cases}$$

Корни уравнения: х₁ = 1, х₂ = -3 (не подходит, так как цифра не может быть отрицательной).

Значит, первая цифра задуманного числа равна 1, тогда вторая цифра 1 + 2 = 3. Следовательно, задуманное число 13.

Проверим:

$$\begin{gathered} 13^2 + 31^2 = 169 + 961 = 1130 \end{gathered}$$

Ответ: 13