18 Тип 18 № 4013 i В треугольнике АВС стороны АВ И ВС равны, ДАСВ = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и Ү, АХ = ВХ и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину от- резка АУ, если АХ = 20.

Решение:

1. Так как \( AB = BC \), то треугольник \( ABC \) равнобедренный. Следовательно, \( \angle BAC = \angle BCA = (180° - 75°) / 2 = 52.5° \).
2. Пусть \( \angle BAX = \angle YAX = \alpha \). Тогда \( \angle BAY = 2\alpha \).
3. Так как \( AX = BX \), то треугольник \( ABX \) равнобедренный. Следовательно, \( \angle BAX = \angle XBA = \alpha \).
4. Тогда \( \angle AXB = 180° - 2\alpha \).
5. \( \angle AXC = 180° - \angle AXB = 180° - (180° - 2\alpha) = 2\alpha \).
6. Также \( \angle XAC = \angle BAC - \angle BAX = 52.5° - \alpha \).
7. В треугольнике \( AXC \) сумма углов равна 180°: \[ 2\alpha + 52.5° - \alpha + 75° = 180° \] \[ \alpha + 127.5° = 180° \] \[ \alpha = 52.5° \]
8. Тогда \( \angle BAY = 2\alpha = 2 \cdot 52.5° = 105° \).
9. \( \angle AYB = 180° - \angle YBA - \angle BAY = 180° - 52.5° - 105° = 22.5° \).
10. Применим теорему синусов для треугольника \( AXY \): \[ \frac{AY}{\sin(\angle AXY)} = \frac{AX}{\sin(\angle AYX)} \]
11. Мы знаем, что \(AX=20\). Найдем \(\angle AXY = \angle AXC = 2\alpha = 105° \). Тогда \(\angle AYX = \angle AYB = 22.5° \) (т.к. X лежит между B и Y)
12. \(\frac{AY}{\sin(105°)} = \frac{20}{\sin(22.5°)}\) \(AY = \frac{20 \cdot \sin(105°)}{\sin(22.5°)}\)
13. Рассчитаем значение \( \sin(105°) \) и \( \sin(22.5°) \): \(\sin(105°) = \sin(60° + 45°) = \sin(60°)\cos(45°) + \cos(60°)\sin(45°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) \(\sin(22.5°) = \sqrt{\frac{1 - \cos(45°)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\)
14. Тогда: \(AY = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}} = \frac{10(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}\)
15. Упростим выражение: \(AY = \frac{10(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} = \frac{10\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} = \frac{10\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 - 2}} = \frac{10\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = 10(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2 + \sqrt{2}}\)
16. \(AY \approx 10(1.732 + 1)\sqrt{2 + 1.414} = 10 \cdot 2.732 \cdot \sqrt{3.414} \approx 10 \cdot 2.732 \cdot 1.848 = 50.48\)

Ответ: \(10(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 50.48\)