7 Тип 16 № 1765 i Сумма двух целых чисел равна 101, а разность их квадратов простое число. Найдите эти числа. В ответе укажите два числа без пробелов в порядке возрастания.

Решение:

• Пусть x и y - искомые числа.
• Из условия: x + y = 101, а x² - y² - простое число.
• Разложим разность квадратов: x² - y² = (x + y)(x - y).
• Так как x + y = 101, то x² - y² = 101(x - y).
• Чтобы x² - y² было простым числом, один из множителей должен быть равен 1.
• Так как x + y = 101 (и это простое число), то x - y = 1.
• Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 101 \\ x - y = 1 \end{cases}\]

• Сложим уравнения: 2x = 102, следовательно x = 51.
• Тогда y = 101 - x = 101 - 51 = 50.
• Проверим, что разность квадратов - простое число:

\[51^2 - 50^2 = (51 + 50)(51 - 50) = 101 \cdot 1 = 101\]

• Число 101 действительно является простым.

Ответ: 5051