3. Тип 21 № 311564 i Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 22 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Обозначим:

• S - расстояние между пристанями А и В;
• V_теч - скорость течения реки;
• V_плота - скорость плота;
• t_плота - время, которое плот был в пути;
• V_яхты - скорость яхты в неподвижной воде.

По условию задачи:

• S = 80 км;
• V_теч = 2 км/ч;
• V_плота = V_теч = 2 км/ч;
• t_плота = 22 км / 2 км/ч = 11 часов;

Обозначим t - время, которое яхта была в пути до встречи с плотом. Тогда путь, пройденный яхтой по течению, равен (V_яхты + V_теч) × t, а путь, пройденный плотом за это время, равен V_теч × (2 + t). Поскольку в момент прибытия яхты в пункт В, расстояние между пристанями равно 80 км, составим уравнение:

$$ (V_{яхты} + V_{теч}) \cdot t = 80 $$

$$ (V_{яхты} + 2) \cdot t = 80 $$

Яхта, прибыв в пункт В, сразу повернула обратно и встретилась в пункте А. Время в пути обратно равно (11 - 2 - t) = (9 - t) часов. Путь, пройденный яхтой против течения, равен (V_яхты - V_теч) × (9 - t), и этот путь также равен 80 км:

$$ (V_{яхты} - V_{теч}) \cdot (9 - t) = 80 $$

$$ (V_{яхты} - 2) \cdot (9 - t) = 80 $$

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (V_{яхты} + 2) \cdot t = 80 \\ (V_{яхты} - 2) \cdot (9 - t) = 80 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} V_{яхты}t + 2t = 80 \\ 9V_{яхты} - V_{яхты}t - 18 + 2t = 80 \end{cases} $$

Выразим V_яхтыt из первого уравнения и подставим во второе:

$$ \begin{cases} V_{яхты}t = 80 - 2t \\ 9V_{яхты} - (80 - 2t) - 18 + 2t = 80 \end{cases} $$

$$ 9V_{яхты} - 80 + 2t - 18 + 2t = 80 $$

$$ 9V_{яхты} + 4t = 178 $$

$$ 4t = 178 - 9V_{яхты} $$

$$ t = \frac{178 - 9V_{яхты}}{4} $$

Подставим t в первое уравнение:

$$ (V_{яхты} + 2) \cdot \frac{178 - 9V_{яхты}}{4} = 80 $$

$$ (V_{яхты} + 2) \cdot (178 - 9V_{яхты}) = 320 $$

$$ 178V_{яхты} - 9V_{яхты}^{2} + 356 - 18V_{яхты} = 320 $$

$$ -9V_{яхты}^{2} + 160V_{яхты} + 36 = 0 $$

$$ 9V_{яхты}^{2} - 160V_{яхты} - 36 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = (-160)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896 $$

$$ \sqrt{D} = 164 $$

$$ V_{яхты1} = \frac{160 + 164}{18} = \frac{324}{18} = 18 $$

$$ V_{яхты2} = \frac{160 - 164}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9} $$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому V_яхты = 18 км/ч.

Ответ: 18