15 Тип 15 № 5433 i Катер прошёл по течению реки 72 км, повер- нув обратно, он прошёл ещё 54 км, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Ответ: 20 км/ч

Решение:

• Пусть \( x \) км/ч – собственная скорость катера.
• Тогда скорость по течению реки составляет \( (x + 5) \) км/ч, а против течения – \( (x - 5) \) км/ч.
• Время, затраченное на путь по течению, равно \( \frac{72}{x + 5} \) часов, а против течения – \( \frac{54}{x - 5} \) часов.
• Общее время в пути составляет 9 часов, поэтому получаем уравнение: \[\frac{72}{x + 5} + \frac{54}{x - 5} = 9\]
• Умножим обе части уравнения на \( (x + 5)(x - 5) \), чтобы избавиться от знаменателей: \[72(x - 5) + 54(x + 5) = 9(x^2 - 25)\]
• Раскроем скобки и упростим уравнение: \[72x - 360 + 54x + 270 = 9x^2 - 225\] \[126x - 90 = 9x^2 - 225\]
• Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[9x^2 - 126x - 135 = 0\]
• Разделим обе части уравнения на 9: \[x^2 - 14x - 15 = 0\]
• Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[D = (-14)^2 - 4(1)(-15) = 196 + 60 = 256\] \[x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{256}}{2(1)} = \frac{14 \pm 16}{2}\]
• Получаем два корня: \[x_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15\] \[x_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
• Так как скорость не может быть отрицательной, то \( x = 15 \) км/ч.

Ответ: 20 км/ч