The user has provided an image containing text related to a mathematical proof. The task is to extract this text and format it as JSON according to the provided schema. The text is in Russian and discusses a theorem about parallel lines and their properties, specifically focusing on the distance between them and perpendiculars. The text also includes the title 'Теорема' (Theorem) and 'Доказательство' (Proof). The image also contains the number '81' which likely indicates a page number.

Теорема

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Доказательство

Рассмотрим параллельные прямые a и b. Отметим на прямой a точку A и проведём из этой точки перпендикуляр AB к прямой b (рис. 144). Докажем, что расстояние от любой точки X прямой a до прямой b равно AB.

Проведём из точки X перпендикуляр XY к прямой b. Так как XY ⊥ b, то XY ⊥ a. Прямоугольные треугольники ABY и УХА равны по гипотенузе и острому углу (AY — общая гипотенуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых a и b секущей AY). Следовательно, XY = AB.

Любая точка X прямой a находится на таком же расстоянии AB от прямой b. Очевидно, все точки X прямой a находятся на таком же расстоянии AB от прямой b.

Доказана.

Страница: 81