The image contains a geometry problem with a triangle ABC and an inscribed circle. The lengths of the sides AB, BC, and AC are given as 13, 12, and 15 respectively. The points where the circle touches the sides are labeled M, N, and K. The question asks to find the length of CK.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами касательных, проведённых из одной точки к окружности. Точки M, N, K лежат на сторонах треугольника ABC и являются точками касания вписанной окружности. Известно, что отрезки касательных, проведённых из вершины треугольника к вписанной окружности, равны.

Обозначим длины отрезков касательных:

• Из вершины A: AM = AN
• Из вершины B: BM = BN
• Из вершины C: CK = CN

Мы знаем длины сторон треугольника:

• AB = 13
• BC = 12
• AC = 15

Составим систему уравнений, используя равенство отрезков касательных:

1. AB = AM + MB = 13
2. BC = BK + KC = 12
3. AC = AN + NC = 15

Так как AM = AN, BM = BK, CK = CN, подставим эти равенства в уравнения:

1. AN + BK = 13
2. BK + CK = 12
3. AN + CK = 15

Теперь решим эту систему уравнений. Для удобства обозначим:

• AN = x
• BK = y
• CK = z

Система примет вид:

1. x + y = 13
2. y + z = 12
3. x + z = 15

Сложим все три уравнения:

(x + y) + (y + z) + (x + z) = 13 + 12 + 15

2x + 2y + 2z = 40

Разделим обе части на 2:

x + y + z = 20

Теперь, чтобы найти z (CK), вычтем из общей суммы (x + y + z) сумму, где z отсутствует (x + y):

z = (x + y + z) - (x + y)

z = 20 - 13

z = 7

Следовательно, CK = 7.

Проверим остальные отрезки:

• y + z = 12 → y = 12 - z = 12 - 7 = 5 (BK = 5)
• x + y = 13 → x = 13 - y = 13 - 5 = 8 (AN = 8)
• x + z = 15 → 8 + 7 = 15 (Верно)

Итак, AN = 8, BK = 5, CK = 7.

Ответ: CK = 7.