\(\text\){Игра: \$$6 за орла и \$$0 за решку. \\ \(\text{Каков ожидаемый выигрыш?}\)}

Решение:

В этой игре есть два исхода: орёл и решка. Вероятность выпадения орла равна \( P(\text{орёл}) = \frac{1}{2} \), а вероятность выпадения решки также равна \( P(\text{решка}) = \frac{1}{2} \).

Выигрыш за орла составляет \( 6 \) денежных единиц, а за решку — \( 0 \) денежных единиц.

Математическое ожидание выигрыша \( E(X) \) рассчитывается по формуле:

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i) \]

Где \( x_i \) — возможные значения выигрыша, а \( P(x_i) \) — соответствующие им вероятности.

В нашем случае:

\[ E(X) = (6 \text{ за орла}) \times P(\text{орёл}) + (0 \text{ за решку}) \times P(\text{решка}) \]

\[ E(X) = 6 \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} \]

\[ E(X) = 3 + 0 \]

\[ E(X) = 3 \]

Таким образом, ожидаемый выигрыш составляет 3 денежные единицы.

Ответ: 3