Тестовые вопросы к разделу 7. Корень уравнения \(\sqrt{2^x} \sqrt[3]{3^x} = 36\) равен

Решение:

Заданное уравнение: \(\sqrt{2^x} \sqrt[3]{3^x} = 36\).

1. Преобразуем корни в степени: \(2^{\frac{x}{2}} \cdot 3^{\frac{x}{3}} = 36\).
2. Возведём обе части уравнения в 6-ю степень, чтобы избавиться от дробных показателей: \((2^{\frac{x}{2}} \cdot 3^{\frac{x}{3}})^6 = 36^6\)
3. Применяем свойство степеней \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \(2^{\frac{x}{2} \cdot 6} \cdot 3^{\frac{x}{3} \cdot 6} = 36^6\)
4. Упрощаем показатели: \(2^{3x} \cdot 3^{2x} = 36^6\)
5. Представим \(36\) как \(6^2\): \(2^{3x} \cdot 3^{2x} = (6^2)^6\)
6. Используем свойство \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \(2^{3x} \cdot 3^{2x} = 6^{12}\)
7. Представим \(6\) как \(2 \cdot 3\): \(2^{3x} \cdot 3^{2x} = (2 \cdot 3)^{12}\)
8. Применяем свойство \((ab)^n = a^n b^n\): \(2^{3x} \cdot 3^{2x} = 2^{12} \cdot 3^{12}\)
9. Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Перенесём все члены в одну сторону: \(\frac{2^{3x}}{2^{12}} = \frac{3^{12}}{3^{2x}}\).
10. Используем свойство \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(2^{3x-12} = 3^{12-2x}\).
11. Возведём обе части уравнения в степень \(\frac{1}{6-x}\) (при условии \(x \neq 6\)): \((2^{3(x-4)})^{\frac{1}{6-x}} = (3^{2(6-x)})^{\frac{1}{6-x}}\).
12. Упрощаем: \(2^{\frac{3(x-4)}{6-x}} = 3^{\frac{2(6-x)}{6-x}}\).
13. \(2^{\frac{-3(4-x)}{-(x-6)}} = 3^2\)
14. \(2^{\frac{3(4-x)}{x-6}} = 9\)
15. Из предыдущего шага \(2^{3x-12} = 3^{12-2x}\). Если \(3x - 12 = 0\) и \(12 - 2x = 0\), то \(x=4\) и \(x=6\), что невозможно.
16. Рассмотрим случай, когда \(3x-12 = 0\) и \(12-2x = 0\) одновременно. Это произойдёт, если \(3x-12 = 0\) и \(12-2x = 0\). Из первого уравнения \(3x=12\), \(x=4\). Из второго уравнения \(2x=12\), \(x=6\). Так как \(x\) не может быть одновременно равен 4 и 6, то такого простого равенства показателей степеней нет.
17. Вернёмся к \(2^{3x} \cdot 3^{2x} = 6^{12}\).
18. Перепишем как \((2^3)^x \cdot (3^2)^x = 6^{12}\)
19. \(8^x \cdot 9^x = 6^{12}\)
20. \((8 \cdot 9)^x = 6^{12}\)
21. \(72^x = 6^{12}\)
22. Заметим, что \(72 = 6^2\).
23. \((6^2)^x = 6^{12}\)
24. \(6^{2x} = 6^{12}\)
25. Приравниваем показатели степеней: \(2x = 12\)
26. \(x = \frac{12}{2} = 6\).

Ответ: 6