Тест 18. Прямоугольный треугольник Морфото Вариант 2 А1. В прямоугольном треугольнике: 11) катет, лежащий против угла, равного 45°, вдвое мень- ше гипотенузы 2) острый угол равен 30° 3) если катет равен половине гипотенузы, то против него лежит угол, равный 30° 14) катет, лежащий против угла, равного 30°, составляет третью часть гипотенузы А2. Прямоугольные треугольники равны, если: 1) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника 2) два угла одного треугольника равны двум углам дру- гого треугольника 3) гипотенуза и угол одного треугольника равны гипо- тенузе и углу другого треугольника 14) катет и угол одного треугольника равны катету и углу другого треугольника АЗ. В треугольнике АВС ∠C = 90°, ∠B = 60°, АВ = 10 см. Чему равна сторона ВС? 1) 20 см 2) 10 см 3) 6 см 4) 5 см А4. В треугольнике ABC ∠C = 90°, АВ = 18 см, АС = 9 см. Чему равен ДА? 1)60° 2)90° 3) 30° 4) 45° ВІ. В прямоугольном треугольнике АВС угол между бис- сектрисой СК и высотой СН, проведенными из вершины Прямого угла С, равен 15°. АВ = 12 см. Найдите сторо- ну ВС, если известно, что точка К лежит между А и Н. С1. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°, а боковая сторона 16 см. Найдите высоту, прове- денную к основанию. 57

Ответ: 3) если катет равен половине гипотенузы, то против него лежит угол, равный 30°

Ответ: 1) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Т.к. ∠B = 60°, то ∠A = 30°. Значит, BC = 1/2 AB, следовательно BC = 1/2 * 10 = 5 см.

Ответ: 4) 5 см

Т.к. катет AC равен половине гипотенузы AB, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. То есть ∠B = 30°, а значит ∠A = 90° - 30° = 60°.

Ответ: 1) 60°

Т.к. СК - биссектриса, то ∠АСК = ∠ВСК = 45°. Т.к. СН - высота, то ∠СНА = 90°. Угол между биссектрисой и высотой ∠КСН = 15°, тогда ∠НСВ = ∠ВСК - ∠КСН = 45° - 15° = 30°. В прямоугольном треугольнике ВСН ∠СВН = 90° - ∠НСВ = 90° - 30° = 60°. Зная ∠СВН и сторону АВ, найдем ВС: ВС = АВ * sin(∠СВН) = 12 * sin(60°) = 12 * √3/2 = 6√3 см.

Ответ: ВС = 6√3 см

Пусть дан равнобедренный треугольник АВС, где АВ = ВС = 16 см, ∠В = 120°. Проведем высоту из вершины В к стороне АС, обозначим её ВН. Т.к. треугольник АВС равнобедренный, то высота ВН является и медианой, и биссектрисой. Значит, ∠АВН = 1/2 ∠АВС = 1/2 * 120° = 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. В нём ∠ВАН = 90° - 60° = 30°, АВ = 16 см, ВН - искомая высота. Т.к. против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, то АН = 1/2 АВ = 1/2 * 16 = 8 см. Тогда ВН = √(АВ^2 - АН^2) = √(16^2 - 8^2) = √(256 - 64) = √192 = 8√3 см.

Ответ: ВН = 8√3 см