Тест 77. ФИ 1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = \frac{13}{16}, AB = 96. Найдите BC. 2. Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. 3. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 60° и 55°. Найдите меньший угол этого парал- лелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, косинус угла B равен отношению прилежащего катета BC к гипотенузе AB: \[\cos B = \frac{BC}{AB}\]
2. Подставляем известные значения: \[\frac{13}{16} = \frac{BC}{96}\]
3. Решаем уравнение относительно BC: \[BC = \frac{13}{16} \cdot 96\]\[BC = 13 \cdot 6\]\[BC = 78\]
4. Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник можно найти по формуле: \[r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\] где a - сторона треугольника.
5. Подставляем значение стороны треугольника: \[r = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6}\]\[r = \frac{10 \cdot 3}{6}\]\[r = \frac{30}{6}\]\[r = 5\]
6. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Пусть \(\angle A\) - меньший угол параллелограмма ABCD.
7. Угол \(\angle ABD = 60^\circ\), а угол \(\angle DBC = 55^\circ\). Следовательно, угол \(\angle B\) параллелограмма равен сумме этих углов: \[\angle B = 60^\circ + 55^\circ = 115^\circ\]
8. Теперь мы можем найти угол \(\angle A\), используя свойство параллелограмма: \[\angle A = 180^\circ - \angle B\]\[\angle A = 180^\circ - 115^\circ\]\[\angle A = 65^\circ\]