Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 24 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 34 часа после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?

Решение:

1. Определим скорость теплохода по течению: \( 24 + 3 = 27 \) км/ч.
2. Определим время, которое теплоход был в пути (без учёта стоянки): \( 34 - 2 = 32 \) часа.
3. Пусть \( t_1 \) — время движения по течению, а \( t_2 \) — время движения против течения. Тогда \( t_1 + t_2 = 32 \) часа.
4. Расстояние, пройденное по течению: \( S_1 = 27 \cdot t_1 \) км.
5. Скорость теплохода против течения: \( 24 - 3 = 21 \) км/ч.
6. Расстояние, пройденное против течения: \( S_2 = 21 \cdot t_2 \) км.
7. Поскольку теплоход возвращается в исходный пункт, расстояние, пройденное по течению, равно расстоянию, пройденному против течения: \( S_1 = S_2 \).
8. \( 27 \cdot t_1 = 21 \cdot t_2 \)
9. Подставим \( t_2 = 32 - t_1 \) в уравнение: \( 27 \cdot t_1 = 21 \cdot (32 - t_1) \)
10. \( 27 \cdot t_1 = 672 - 21 \cdot t_1 \)
11. \( 27 \cdot t_1 + 21 \cdot t_1 = 672 \)
12. \( 48 \cdot t_1 = 672 \)
13. \( t_1 = \frac{672}{48} = 14 \) часов.
14. \( t_2 = 32 - 14 = 18 \) часов.
15. Теперь найдём общее расстояние: \( S = S_1 + S_2 \).
16. \( S_1 = 27 \cdot 14 = 378 \) км.
17. \( S_2 = 21 \cdot 18 = 378 \) км.
18. \( S = 378 + 378 = 756 \) км.

Ответ: 756 километров.