Теплоход прошёл по течению реки из пункта А в пункт Б 200 км. После стоянки он вернулся в пункт А. Найди скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длилась 10 ч, а в пункт А теплоход вернулся через 40 ч после отплытия из него.

Решение:

1. Обозначим скорость теплохода в неподвижной воде как \( v_{т} = 15 \) км/ч, скорость течения реки как \( v_{тч} \) км/ч.
2. Скорость теплохода по течению: \( v_{по теч} = v_{т} + v_{тч} = 15 + v_{тч} \) км/ч.
3. Скорость теплохода против течения: \( v_{против} = v_{т} - v_{тч} = 15 - v_{тч} \) км/ч.
4. Время в пути по течению: \( t_{по теч} = \frac{S}{v_{по теч}} = \frac{200}{15 + v_{тч}} \) ч.
5. Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{200}{15 - v_{тч}} \) ч.
6. Общее время в пути (без учёта стоянки): \( t_{пути} = t_{по теч} + t_{против} = \frac{200}{15 + v_{тч}} + \frac{200}{15 - v_{тч}} \) ч.
7. Общее время, указанное в условии, — 40 часов. Из них 10 часов — стоянка, значит, время в пути составило \( 40 - 10 = 30 \) ч.
8. Составим уравнение: \( \frac{200}{15 + v_{тч}} + \frac{200}{15 - v_{тч}} = 30 \).
9. Упростим уравнение, разделив всё на 10: \( \frac{20}{15 + v_{тч}} + \frac{20}{15 - v_{тч}} = 3 \).
10. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{20(15 - v_{тч}) + 20(15 + v_{тч})}{(15 + v_{тч})(15 - v_{тч})} = 3 \).
11. Раскроем скобки в числителе: \( \frac{300 - 20v_{тч} + 300 + 20v_{тч}}{15^2 - v_{тч}^2} = 3 \).
12. Упростим числитель: \( \frac{600}{225 - v_{тч}^2} = 3 \).
13. Решим полученное уравнение: \( 600 = 3(225 - v_{тч}^2) \).
14. Разделим обе части на 3: \( 200 = 225 - v_{тч}^2 \).
15. Выразим \( v_{тч}^2 \): \( v_{тч}^2 = 225 - 200 \).
16. \( v_{тч}^2 = 25 \).
17. Найдем скорость течения: \( v_{тч} = \sqrt{25} = 5 \) км/ч.

Ответ: 5 км/ч.