Теорема 6.3. У параллелограмма противоположные стороны равны, противоположные углы равны. Доказать.

Дано: параллелограмм ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Доказать: AB = CD, BC = AD, ∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то OA = OC и OB = OD. Углы ∠AOB и ∠COD — вертикальные, поэтому они равны. Следовательно, △AOB = △COD по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует: AB = CD.

Аналогично, из равенства треугольников AOD и COB получаем: AD = BC.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них AB = CD, BC = AD, а сторона AC общая. Значит, △ABC = △CDA по трём сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABC = ∠CDA.

Аналогично, из равенства треугольников BCD и DAB получаем: ∠BCD = ∠DAB.

Ответ: в параллелограмме противоположные стороны равны, а противоположные углы равны.