Температуру нагревателя и холодильника уменьшили на 50 К (градусов Кельвина). Как при этом изменится КПД идеального теплового двигателя?

Решение:

КПД идеального теплового двигателя (Цикл Карно) определяется формулой:

\[ \eta = 1 - \frac{T_{холод}}{T_{нагрев}} \]

где \( T_{холод} \) — температура холодильника, \( T_{нагрев} \) — температура нагревателя.

Если температуру нагревателя и холодильника уменьшить на 50 К, то есть:

• \( T'_{холод} = T_{холод} - 50 \)
• \( T'_{нагрев} = T_{нагрев} - 50 \)

Тогда новый КПД будет:

\[ \eta' = 1 - \frac{T_{холод} - 50}{T_{нагрев} - 50} \]

Чтобы определить, как изменится КПД, рассмотрим два случая:

1. Если \( T_{нагрев} > T_{холод} \) (что необходимо для работы двигателя):
• Пусть \( T_{холод} = 200 \) К, \( T_{нагрев} = 400 \) К.
• \( \eta = 1 - \frac{200}{400} = 1 - 0.5 = 0.5 \) (50%)
• После уменьшения: \( T'_{холод} = 150 \) К, \( T'_{нагрев} = 350 \) К.
• \( \eta' = 1 - \frac{150}{350} \approx 1 - 0.428 = 0.572 \) (57.2%)
• В данном случае КПД увеличился.
2. Рассмотрим относительное изменение:
• \( \frac{T_{холод}}{T_{нагрев}} \) — это дробь, где числитель и знаменатель уменьшаются на одну и ту же величину.
• Если \( T_{холод} > 0 \) и \( T_{нагрев} > T_{холод} \), то отношение \( \frac{T_{холод} - 50}{T_{нагрев} - 50} \) будет меньше, чем \( \frac{T_{холод}}{T_{нагрев}} \) (при условии, что \( T_{холод} \) и \( T_{нагрев} \) достаточно велики, чтобы после вычитания 50 они оставались положительными и \( T'_{нагрев} > T'_{холод} \)).
• Например, дробь \( \frac{200}{400} = 0.5 \). Уменьшим обе части на 50: \( \frac{150}{350} \approx 0.428 \). Дробь уменьшилась.
• Так как КПД равен \( 1 - \frac{T_{холод}}{T_{нагрев}} \), то уменьшение дроби \( \frac{T_{холод}}{T_{нагрев}} \) приводит к увеличению КПД.

Важно: Это справедливо, пока температуры остаются положительными и температура нагревателя выше температуры холодильника.

Ответ: увеличится