Тема: «Вычисление объемов круглых тел» Цель: сформировать умения решать задачи на вычисление объема комбинации тел вращения Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Sбок = 2arh Sцил = 2tr (r + h) V = r²h Конус вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов Sбок = rrl S=(1+r) V = r²h 1 3 Усеченный конус вращением прямоугольной трапеции вокруг его боковой стороны, перпендикулярной к основанию 1 3 1 3 Sok = n(r+r)1 V = thr² + r² + rr) V = h(S+S+ √S•S₁) или Сфера получается вращением полуокружности вокруг диаметра. Тело, ограниченное сферой, называется шаром S = 4πr² V= πr3 Задание 1. Решите задачи, к каждой задаче необходимо сделать чертеж. 1) Чему равен объем тела вращения, получившегося при вращении прямоугольного треугольника, катеты которого 3см и 4см, вокруг большего катета? 2) Прямоугольник со сторонами а и b (a>b) вращается вокруг большей стороны. Найти объем полученного тела. 3) Прямоугольная трапеция с основаниями бсм и 3см и образующей 5см вращается вокруг боковой стороны, перпендикулярной к основанию. Найти объем получившегося тела вращения. 4) В шар радиуса 2дм вписан конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник. Найти объем конуса. Примечание: многогранник называется вписанным в шар, если все вершины его принадлежат поверхности шара 5) Равнобедренный прямоугольный треугольник вращается вокруг гипотенузы равной 12см. Найти объем полученного тела вращения.

Ответ: 9π см³

Решение:

1) При вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета (4 см) образуется конус, у которого радиус основания r = 3 см, высота h = 4 см.

2) Объем конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (3 \text{ см})^2 (4 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 12 \pi \text{ см}^3\]

Ответ: 12π см³

Ответ: πa²b

1) При вращении прямоугольника со сторонами a и b вокруг большей стороны a получается цилиндр с радиусом r = b и высотой h = a.

2) Объем цилиндра:

\[V = \pi r^2 h = \pi b^2 a = \pi a b^2\]

Ответ: πab²

Ответ: 51π см³

1) При вращении прямоугольной трапеции с основаниями 6 см и 3 см и образующей 5 см вокруг боковой стороны, перпендикулярной к основанию, образуется усеченный конус с радиусами оснований R = 6 см, r = 3 см и высотой h = 5 см.

2) Объем усеченного конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) = \frac{1}{3} \pi (5 \text{ см}) ((6 \text{ см})^2 + (3 \text{ см})^2 + (6 \text{ см})(3 \text{ см})) = \frac{1}{3} \pi \cdot 5 \text{ см} \cdot (36 \text{ см}^2 + 9 \text{ см}^2 + 18 \text{ см}^2) = \frac{1}{3} \pi \cdot 5 \text{ см} \cdot 63 \text{ см}^2 = 105 \pi \text{ см}^3\]

Ответ: 105π см³

Ответ: 2π дм³

1) В шаре радиуса R = 2 дм вписан конус, осевое сечение которого - равносторонний треугольник. Значит, радиус основания конуса равен радиусу шара, а высота конуса равна сумме радиуса шара и половины радиуса шара.

2) Найдем радиус основания конуса r = R = 2 дм.

3) Высота конуса h = R + R/2 = 2 дм + 1 дм = 3 дм.

4) Объем конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2 \text{ дм})^2 (3 \text{ дм}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \text{ дм}^2 \cdot 3 \text{ дм} = 4 \pi \text{ дм}^3\]

Ответ: 4π дм³

Ответ: 144π см³

1) Равнобедренный прямоугольный треугольник вращается вокруг гипотенузы, равной 12 см. При вращении образуются два равных конуса, сложенных основаниями. Гипотенуза является диаметром окружности, описанной вокруг треугольника.

2) Высота, проведенная к гипотенузе, является радиусом этой окружности и равна половине гипотенузы: h = 12 см / 2 = 6 см.

3) Радиус основания конуса равен высоте, проведенной к гипотенузе: r = 6 см.

4) Высота каждого конуса равна половине гипотенузы: h_конуса = 12 см / 2 = 6 см.

5) Объем одного конуса:

\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi (6 \text{ см})^2 (6 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 72 \pi \text{ см}^3\]

6) Объем тела вращения (двух конусов):

\[V = 2 V_{\text{конуса}} = 2 \cdot 72 \pi \text{ см}^3 = 144 \pi \text{ см}^3\]

Ответ: 144π см³

Ответ: 9π см³

Решение:

1) При вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета (4 см) образуется конус, у которого радиус основания r = 3 см, высота h = 4 см.

2) Объем конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (3 \text{ см})^2 (4 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 12 \pi \text{ см}^3\]

Ответ: 12π см³

Ответ: πa²b

1) При вращении прямоугольника со сторонами a и b вокруг большей стороны a получается цилиндр с радиусом r = b и высотой h = a.

2) Объем цилиндра:

\[V = \pi r^2 h = \pi b^2 a = \pi a b^2\]

Ответ: πab²

Ответ: 51π см³

1) При вращении прямоугольной трапеции с основаниями 6 см и 3 см и образующей 5 см вокруг боковой стороны, перпендикулярной к основанию, образуется усеченный конус с радиусами оснований R = 6 см, r = 3 см и высотой h = 5 см.

2) Объем усеченного конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) = \frac{1}{3} \pi (5 \text{ см}) ((6 \text{ см})^2 + (3 \text{ см})^2 + (6 \text{ см})(3 \text{ см})) = \frac{1}{3} \pi \cdot 5 \text{ см} \cdot (36 \text{ см}^2 + 9 \text{ см}^2 + 18 \text{ см}^2) = \frac{1}{3} \pi \cdot 5 \text{ см} \cdot 63 \text{ см}^2 = 105 \pi \text{ см}^3\]

Ответ: 105π см³

Ответ: 2π дм³

1) В шаре радиуса R = 2 дм вписан конус, осевое сечение которого - равносторонний треугольник. Значит, радиус основания конуса равен радиусу шара, а высота конуса равна сумме радиуса шара и половины радиуса шара.

2) Найдем радиус основания конуса r = R = 2 дм.

3) Высота конуса h = R + R/2 = 2 дм + 1 дм = 3 дм.

4) Объем конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2 \text{ дм})^2 (3 \text{ дм}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \text{ дм}^2 \cdot 3 \text{ дм} = 4 \pi \text{ дм}^3\]

Ответ: 4π дм³

Ответ: 144π см³

1) Равнобедренный прямоугольный треугольник вращается вокруг гипотенузы, равной 12 см. При вращении образуются два равных конуса, сложенных основаниями. Гипотенуза является диаметром окружности, описанной вокруг треугольника.

2) Высота, проведенная к гипотенузе, является радиусом этой окружности и равна половине гипотенузы: h = 12 см / 2 = 6 см.

3) Радиус основания конуса равен высоте, проведенной к гипотенузе: r = 6 см.

4) Высота каждого конуса равна половине гипотенузы: h_конуса = 12 см / 2 = 6 см.

5) Объем одного конуса:

\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi (6 \text{ см})^2 (6 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 72 \pi \text{ см}^3\]

6) Объем тела вращения (двух конусов):

\[V = 2 V_{\text{конуса}} = 2 \cdot 72 \pi \text{ см}^3 = 144 \pi \text{ см}^3\]

Ответ: 144π см³