Тема: Показательные, логарифмические уравнения и неравенства. 1) Вычислить: 2log5 25 + 3log2 64. 2) Найдите значение выражения log3 108 3+log34 І вариант 6) 5x2-3x+2 = 1 3) Решить показательные уравнения: a) 62x-1=216 4) Решить логарифмическое уравнение: a) log4 (5x + 1) = 2; 6)1g(2x-1) = 1g(x+1). 5) Решить неравенства: a) (1/3)2x+3> 27 b) log3(5x - 3)>0 6) Решить неравенства (для профиля) a) 2*+1 +0,5x-3 ≥ 17. 6) log3x+6>5log2x.

1) Вычисление:

\( 2\log_{5} 25 + 3\log_{2} 64 \)

1. \(\log_{5} 25 = \log_{5} 5^2 = 2\)
2. \(\log_{2} 64 = \log_{2} 2^6 = 6\)
3. \(2 \cdot 2 + 3 \cdot 6 = 4 + 18 = 22\)

2) Нахождение значения выражения:

\( \frac{\log_{3} 108}{3 + \log_{3} 4} \)

1. Преобразуем числитель: \(\log_{3} 108 = \log_{3} (27 \cdot 4) = \log_{3} 27 + \log_{3} 4 = 3 + \log_{3} 4\)
2. Подставим в выражение: \( \frac{3 + \log_{3} 4}{3 + \log_{3} 4} = 1 \)

3) Решение показательных уравнений:

а) \( 6^{2x-1} = 216 \)

1. Представим \( 216 \) как степень \( 6 \): \( 216 = 6^3 \)
2. Получаем уравнение: \( 6^{2x-1} = 6^3 \)
3. Приравниваем показатели степеней: \( 2x - 1 = 3 \)
4. Решаем линейное уравнение: \( 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \)

б) \( 5^{x^2-3x+2} = 1 \)

1. Любое число в степени \( 0 \) равно \( 1 \) (кроме \( 0^0 \)).
2. Приравниваем показатель степени к \( 0 \): \( x^2 - 3x + 2 = 0 \)
3. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \)
4. Корни: \( x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \)

4) Решение логарифмических уравнений:

а) \( \log_{4} (5x + 1) = 2 \)

1. Переходим от логарифмического уравнения к степенному: \( 5x + 1 = 4^2 \)
2. \( 5x + 1 = 16 \)
3. \( 5x = 15 \Rightarrow x = 3 \)
4. Проверка ОДЗ: \( 5x + 1 > 0 \Rightarrow 5 \cdot 3 + 1 = 16 > 0 \). Корень подходит.

б) \( \lg(2x - 1) = \lg(x + 1) \)

1. Приравниваем выражения под знаком логарифма: \( 2x - 1 = x + 1 \)
2. \( x = 2 \)
3. Проверка ОДЗ: \( 2x - 1 > 0 \Rightarrow 2 \cdot 2 - 1 = 3 > 0 \) и \( x + 1 > 0 \Rightarrow 2 + 1 = 3 > 0 \). Корень подходит.

5) Решение неравенств:

а) \( (1/3)^{2x+3} > 27 \)

1. Представим числа как степени с основанием \( 3 \): \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \) и \( 27 = 3^3 \)
2. Неравенство примет вид: \( (3^{-1})^{2x+3} > 3^3 \)
3. \( 3^{-2x-3} > 3^3 \)
4. Так как основание степени \( 3 > 1 \), при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: \( -2x - 3 > 3 \)
5. \( -2x > 6 \Rightarrow x < -3 \)

б) \( \log_{3} (5x - 3) > 0 \)

1. Представим \( 0 \) как логарифм: \( 0 = \log_{3} 1 \)
2. Неравенство примет вид: \( \log_{3} (5x - 3) > \log_{3} 1 \)
3. Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется: \( 5x - 3 > 1 \)
4. \( 5x > 4 \Rightarrow x > \frac{4}{5} \)
5. Учитываем ОДЗ: \( 5x - 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{5} \)
6. Объединяя условия \( x > \frac{4}{5} \) и \( x > \frac{3}{5} \), получаем \( x > \frac{4}{5} \)

6) Решение неравенств (для профиля):

а) \( 2^{x+1} + 0.5^x - 3 \geq 17 \)

1. Перепишем \( 0.5^x \) как \( \frac{1}{2^x} \) и \( 2^{x+1} \) как \( 2 \cdot 2^x \).
2. \( 2 \cdot 2^x + \frac{1}{2^x} - 3 \geq 17 \)
3. \( 2 \cdot 2^x + \frac{1}{2^x} - 20 \geq 0 \)
4. Сделаем замену переменной: пусть \( y = 2^x \). Тогда \( 2y + \frac{1}{y} - 20 \geq 0 \)
5. Умножим на \( y \) (учитывая, что \( y = 2^x > 0 \)): \( 2y^2 + 1 - 20y \geq 0 \)
6. \( 2y^2 - 20y + 1 \geq 0 \)
7. Найдем корни квадратного уравнения \( 2y^2 - 20y + 1 = 0 \). \( D = (-20)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 400 - 8 = 392 \)
8. \( \sqrt{D} = \sqrt{392} = \sqrt{196 \cdot 2} = 14\sqrt{2} \)
9. \( y_1 = \frac{20 - 14\sqrt{2}}{4} = 5 - \frac{7\sqrt{2}}{2} \)
10. \( y_2 = \frac{20 + 14\sqrt{2}}{4} = 5 + \frac{7\sqrt{2}}{2} \)
11. \( 2y^2 - 20y + 1 \geq 0 \) при \( y \leq 5 - \frac{7\sqrt{2}}{2} \) или \( y \geq 5 + \frac{7\sqrt{2}}{2} \)
12. Заменяем \( y \) обратно: \( 2^x \leq 5 - \frac{7\sqrt{2}}{2} \) или \( 2^x \geq 5 + \frac{7\sqrt{2}}{2} \)
13. \( 5 - \frac{7\sqrt{2}}{2} \approx 5 - \frac{7 \cdot 1.414}{2} \approx 5 - 4.949 = 0.051 \)
14. \( 5 + \frac{7\sqrt{2}}{2} \approx 5 + 4.949 = 9.949 \)
15. \( 2^x \leq 5 - \frac{7\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x \leq \log_{2} (5 - \frac{7\sqrt{2}}{2}) \)
16. \( 2^x \geq 5 + \frac{7\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x \geq \log_{2} (5 + \frac{7\sqrt{2}}{2}) \)

б) \( \log_{3} x + 6 > 5 \log_{2} x \)

1. Данное неравенство содержит логарифмы с разными основаниями, что затрудняет прямое решение. Скорее всего, в условии опечатка, и основания должны быть одинаковыми.
2. Предположим, что оба логарифма имеют основание \( 3 \): \( \log_{3} x + 6 > 5 \log_{3} x \).
3. \( 6 > 4 \log_{3} x \)
4. \( \frac{6}{4} > \log_{3} x \)
5. \( 1.5 > \log_{3} x \)
6. \( \log_{3} 1.5 > \log_{3} x \)
7. Так как основание \( 3 > 1 \), то \( 1.5 > x \).
8. Учитывая ОДЗ \( x > 0 \), получаем \( 0 < x < 1.5 \).
9. Если предположить, что оба логарифма имеют основание \( 2 \): \( \log_{2} x + 6 > 5 \log_{2} x \).
10. \( 6 > 4 \log_{2} x \)
11. \( 1.5 > \log_{2} x \)
12. \( \log_{2} 2^{1.5} > \log_{2} x \)
13. \( 2^{1.5} > x \Rightarrow 2\sqrt{2} > x \).
14. Учитывая ОДЗ \( x > 0 \), получаем \( 0 < x < 2\sqrt{2} \).
15. Без уточнения оснований логарифмов точное решение невозможно.

Ответ: 1) 22; 2) 1; 3) а) 2, б) 1; 2; 4) а) 3, б) 2; 5) а) \( x < -3 \), б) \( x > 4/5 \); 6) а) \( x \leq \log_{2} (5 - \frac{7\sqrt{2}}{2}) \) или \( x \geq \log_{2} (5 + \frac{7\sqrt{2}}{2}) \), б) Невозможно решить без уточнения оснований логарифмов.