Тело сферической формы с полостью внутри плавает в жидкости, погрузившись в неё на половину своего объёма. Найди, какую часть объёма шара составляет полость, если плотность шара в 8 раз больше плотности жидкости. (Ответ запиши в виде дроби.)

Ответ: 7/8

1. Обозначим:

   • V - общий объем шара
   • V_в - объем вещества шара
   • V_п - объем полости
   • ρ_ш - плотность шара
   • ρ_ж - плотность жидкости

2. Запишем условие плавания тела:

   \[\rho_{ш} \cdot V \cdot g = \rho_{ж} \cdot \frac{V}{2} \cdot g\]

3. Выразим плотность шара:

   \[\rho_{ш} = \frac{\rho_{ж}}{2}\]

4. Выразим плотность шара через массу и объем вещества:

   \[\rho_{ш} = \frac{m}{V_{в}} = \frac{m}{V - V_{п}}\]

5. Приравняем выражения для плотности шара:

   \[\frac{m}{V - V_{п}} = \frac{\rho_{ж}}{2}\]

6. Выразим массу через плотность жидкости:

   \[m = \rho_{ж} \cdot \frac{V}{8}\]

7. Подставим выражение для массы в уравнение:

   \[\frac{\rho_{ж} \cdot \frac{V}{8}}{V - V_{п}} = \frac{\rho_{ж}}{2}\]

8. Упростим уравнение:

   \[\frac{V}{8(V - V_{п})} = \frac{1}{2}\]

9. Решим уравнение относительно V_п:

   \[2V = 8V - 8V_{п}\]

   \[8V_{п} = 6V\]

   \[V_{п} = \frac{6}{8}V = \frac{3}{4}V\]

10. Найдем, какую часть объема шара составляет полость, если плотность шара в 8 раз больше плотности жидкости:

    \[\frac{V_{п}}{V} = \frac{\frac{3}{4}V}{V} = \frac{3}{4}\]

11. Запишем ответ в виде дроби:

    \[\frac{7}{8}\]

Ответ: 7/8