Теңдеуді шешіңіз. (2x – 1)⁴ – (2x – 1)² – 12 = 0

Решение:

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения \( (2x - 1)^2 \). Введём замену переменной: пусть \( y = (2x - 1)^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - y - 12 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]

Так как \( D > 0 \), у квадратного уравнения два корня:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив найденные значения \( y \) в уравнение \( y = (2x - 1)^2 \).

Случай 1: \( y_1 = 4 \)

\[ (2x - 1)^2 = 4 \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ 2x - 1 = \pm \sqrt{4} \]

\[ 2x - 1 = \pm 2 \]

Рассмотрим два подслучая:

а) \( 2x - 1 = 2 \) \(\implies\) \( 2x = 3 \) \(\implies\) \( x = \frac{3}{2} \)

б) \( 2x - 1 = -2 \) \(\implies\) \( 2x = -1 \) \(\implies\) \( x = -\frac{1}{2} \)

Случай 2: \( y_2 = -3 \)

\[ (2x - 1)^2 = -3 \]

Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: \( x = \frac{3}{2} \), \( x = -\frac{1}{2} \).