Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью. Прямая МА перпендикулярна плоскости АВС. Найти угол между прямой МВ и плоскостью АВС (рис. 3-6).

Решение заданий по стереометрии на нахождение угла между прямой и плоскостью.

1. Дано: MA ⊥ α, MB = 10, AB = 5.

   Найти: угол между MB и α.

   Решение:

   sin(∠MBA) = MA/MB

   MA = √(MB² - AB²) = √(10² - 5²) = √(100 - 25) = √75 = 5√3

   sin(∠MBA) = (5√3) / 10 = √3 / 2

   ∠MBA = arcsin(√3 / 2) = 60°

   Ответ: 60°

2. Дано: MA ⊥ α, MB = 5√3, AB = 5.

   Найти: угол между MB и α.

   Решение:

   sin(∠MBA) = MA/MB

   MA = √(MB² - AB²) = √((5√3)² - 5²) = √(75 - 25) = √50 = 5√2

   sin(∠MBA) = (5√2) / (5√3) = √2 / √3 = √6 / 3

   ∠MBA = arcsin(√6 / 3) ≈ 54.74°

   Ответ: arcsin(√6 / 3) ≈ 54.74°

3. Дано: AB = 8, AC = 4√2, ∠ACB = 30°.

   MA ⊥ (ABC).

   Найти: угол между MB и (ABC).

   Решение:

   По теореме косинусов:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 cdot AC cdot BC cdot cos(∠ACB)$$ $$8^2 = (4\sqrt{2})^2 + BC^2 - 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot BC \cdot cos(30^\circ)$$ $$64 = 32 + BC^2 - 8\sqrt{2} \cdot BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$BC^2 - 4\sqrt{6} \cdot BC - 32 = 0$$ $$D = (4\sqrt{6})^2 - 4 \cdot (-32) = 16 \cdot 6 + 128 = 96 + 128 = 224$$ $$BC = \frac{4\sqrt{6} \pm \sqrt{224}}{2} = \frac{4\sqrt{6} \pm 4\sqrt{14}}{2} = 2\sqrt{6} \pm 2\sqrt{14}$$

   BC > 0 ⇒ BC = 2√6 + 2√14

   tg(∠MBA) = MA/AB

   Не хватает данных для нахождения MA.

4. Дано: AC = 4, CB = 6, ∠ACB = 120°.

   MA ⊥ (ABC).

   Найти: угол между MB и (ABC).

   Решение:

   По теореме косинусов:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos(∠ACB)$$ $$AB^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot cos(120^\circ)$$ $$AB^2 = 16 + 36 - 48 \cdot (-\frac{1}{2}) = 52 + 24 = 76$$ $$AB = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$$

   tg(∠MBA) = MA/AB

   Не хватает данных для нахождения MA.

5. Дано: ACBD - квадрат.

   MA ⊥ (ABC).

   Найти: угол между MB и (ABC).

   Решение:

   Не хватает данных для нахождения угла.

6. Дано: BCDE - квадрат.

   MA ⊥ (BCDE).

   Найти: угол между MB и (BCDE).

   Решение:

   Не хватает данных для нахождения угла.

7. Дано: плоскости α и β перпендикулярны. BB₁ ⊥ α, A₁A ⊥ α, B₁A₁ = 2√3, AA₁ = 6, ∠BAA₁ = 30°.

   Найти: угол между AB и плоскостью β.

   Решение:

   Рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁B:

   tg(∠BAA₁) = BB₁/AA₁

   BB₁ = AA₁ ⋅ tg(30°) = 6 ⋅ (1/√3) = 2√3

   Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник B₁BA₁:

   AB₁ = √(B₁A₁² + BB₁²) = √((2√3)² + (2√3)²) = √(12 + 12) = √24 = 2√6

   sin(∠ABA₁) = AA₁/AB

   AB = √(AA₁² + BB₁²) = √(6² + (2√3)²) = √(36 + 12) = √48 = 4√3

   sin(∠ABA₁) = (2√3) / (4√3) = 1/2

   ∠ABA₁ = 30°

   Ответ: 30°