3. Свеча стоит на расстоянии 62,5 см от экрана. На каком максимальном расстоянии от свечи надо поставить тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием 10 см, чтобы получить на экране четкое уменьшенное изображение пламени свечи? Свеча и линза располагаются на перпендикуляре, проведенном к плоскости экрана. Ответ выразите в см.

Ответ: 12,5 см

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Запишем формулу тонкой линзы: \[\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{l}\] где:
  • \( f \) - фокусное расстояние линзы, \( f = 10 \) см
  • \( d \) - расстояние от свечи до линзы
  • \( l \) - расстояние от линзы до экрана
• Шаг 2: Выразим расстояние от линзы до экрана: \( l = 62.5 - d \)
• Шаг 3: Подставим выражение для \( l \) в формулу тонкой линзы: \[\frac{1}{10} = \frac{1}{d} + \frac{1}{62.5 - d}\]
• Шаг 4: Приведем к общему знаменателю и решим уравнение: \[\frac{1}{10} = \frac{62.5 - d + d}{d(62.5 - d)}\] \[\frac{1}{10} = \frac{62.5}{d(62.5 - d)}\] \[d(62.5 - d) = 625\] \[62.5d - d^2 = 625\] \[d^2 - 62.5d + 625 = 0\]
• Шаг 5: Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \( D = (-62.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 625 = 3906.25 - 2500 = 1406.25 \) \( \sqrt{D} = 37.5 \) Корни уравнения: \[d_1 = \frac{62.5 + 37.5}{2} = \frac{100}{2} = 50\] \[d_2 = \frac{62.5 - 37.5}{2} = \frac{25}{2} = 12.5\]
• Шаг 6: Анализ решения Чтобы изображение было уменьшенным, расстояние от предмета до линзы должно быть больше, чем два фокусных расстояния. \( 2f = 20 \) см. Поскольку требуется найти максимальное расстояние, при котором получается четкое уменьшенное изображение, выбираем меньший корень \( d = 12.5 \) см.

Ответ: 12,5 см