Существуют ли правильные многогранники, гранями которого являются правильные п-угольники при п≥6?

Ответ: 1) не существуют

Многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Известно всего пять видов правильных многогранников, называемых Платоновыми телами:

• Тетраэдр (грани — правильные треугольники, в каждой вершине сходятся 3 грани)
• Куб (грани — квадраты, в каждой вершине сходятся 3 грани)
• Октаэдр (грани — правильные треугольники, в каждой вершине сходятся 4 грани)
• Додекаэдр (грани — правильные пятиугольники, в каждой вершине сходятся 3 грани)
• Икосаэдр (грани — правильные треугольники, в каждой вершине сходятся 5 граней)

Для правильных многогранников с гранями в виде правильных n-угольников должно выполняться условие, что угол между гранями должен быть меньше 360 градусов. Если n≥6, то угол правильного n-угольника составляет не менее 120 градусов. Если в каждой вершине сходятся три или более таких многоугольников, то сумма углов в вершине будет не менее 360 градусов, что не позволяет образовать объемную фигуру.

Следовательно, правильных многогранников, гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6, не существует.

Ответ: 1) не существуют