«Сумма углов треугольника. Параллельные прямые» 1) На стороне АВ угла АВС отметили точку М и через неё провели прямую параллельную стороне ВС. Эта прямая пересекает биссектрису угла АВС в точке Е. Найдите углы МВЕ и ВМЕ, если угол МЕВ равен 250. 2) Один из углов треугольника равен 100°. Высота и биссектриса, проведенные из вершины этого угла, образуют угол в 20°. Найдите неизвестные углы треугольника. 3) Высота СН и биссектриса ВК прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С пересекаются в точке М. Найдите острые углы треугольника АВС, если угол ВМС равен 118°. 4) В треугольнике MNF известно, что угол № равен 90°, , угол М равен 30°, отрезок FD биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см. 5) Треугольник АВС - равнобедренный с основанием АС. Через произвольную точку М его биссектрисы BD проведены прямые, параллельные его сторонам АВ и ВС и пересекающие отрезок АС в точках Е и Fсоответственно. Докажите, что DE = DF.

Задача 1

В данной задаче, вероятно, допущена опечатка. Угол MEB не может быть равен 250 градусам, так как это противоречит аксиомам геометрии. Скорее всего, угол MEB равен 25 градусам. Исходя из этого, решим задачу.

Дано: MBE - угол, образованный прямой, параллельной стороне BC, и биссектрисой угла ABC; MEB = 25°.

Найти: углы MBE и BME.

Решение:

1. Так как MEB = 25° и ME - прямая, параллельная BC, то углы MEB и EBC равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых ME и BC и секущей BE. Следовательно, угол EBC = 25°.
2. BE - биссектриса угла ABC, поэтому угол MBE = углу EBC = 25°.
3. Рассмотрим треугольник MBE. Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, угол BME = 180° - (угол MBE + угол MEB) = 180° - (25° + 25°) = 180° - 50° = 130°.

Ответ: MBE = 25°, BME = 130°

Задача 2

Дано: один из углов треугольника равен 100°, высота и биссектриса, проведенные из вершины этого угла, образуют угол в 20°.

Найти: неизвестные углы треугольника.

Решение:

1. Пусть дан треугольник ABC, где угол A = 100°. Проведем высоту AH и биссектрису AD из вершины A. Угол между AH и AD равен 20°.
2. Угол HAD = 20°. Биссектриса AD делит угол A пополам, поэтому угол BAD = углу CAD = 100° / 2 = 50°.
3. Угол BAH = угол BAD - угол HAD = 50° - 20° = 30°.
4. Так как AH - высота, то угол AHB = 90°. В треугольнике ABH угол B = 180° - (угол BAH + угол AHB) = 180° - (30° + 90°) = 60°.
5. Угол C = 180° - (угол A + угол B) = 180° - (100° + 60°) = 20°.

Ответ: Углы треугольника: 100°, 60°, 20°.

Задача 3

Дано: высота CH и биссектриса BK прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C пересекаются в точке M. Угол BMC = 118°.

Найти: острые углы треугольника ABC.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°.
2. Рассмотрим треугольник BHC. Угол BHC = 90°. Тогда угол HBC = 180° - (угол BHC + угол C) = 180° - (90° + угол C) = 90° - угол C.
3. Рассмотрим треугольник BMC. Угол BMC = 118°. Тогда угол MBC = 180° - (угол BMC + угол C) = 180° - (118° + угол C).
4. Так как BK - биссектриса угла B, то угол CBK = углу ABK = угол B / 2.
5. Угол MBC = угол CBK = угол B / 2.
6. В треугольнике BMC: угол MBC = 180° - угол BMC - угол C = 180° - 118° - 90° = 180°- (90 + 118). Получается, что угол B / 2 = 180° - угол BMC - угол BCH = 180-118-90 = -28, что не верно, так как не может быть отрицательным.

Решим задачу другим способом:

1. Т.к. CH - высота, то угол CHB = 90°.
2. Рассмотрим треугольник BCH: угол CBH = 90° - угол BСH = 90° - угол A.
3. Т.к. BK - биссектриса, то угол CBK = угол ABC / 2 = угол B / 2.
4. Сумма углов треугольника BCM = 180°, откуда 180° = угол BMC + угол CBK + угол BCH.
5. Тогда 180° = 118° + угол B / 2 + 90 - угол B, т.к угол BCH = 90-BCH
6. угол B / 2 = 32° - 90 + B; угол B / 2 = B - 32 (выразили из предыдущего примера угол В/2)
7. угол B = 64.
8. угол A = 90 - B = 90 - 64 = 26.

Ответ: Угол A = 26°, угол B = 64°

Задача 4

Дано: треугольник MNF, угол N = 90°, угол M = 30°, FD - биссектриса треугольника, FD = 20 см.

Найти: катет MN.

Решение:

1. Так как FD - биссектриса угла F, то угол MFD = углу NFD = угол F / 2.
2. В треугольнике MNF угол F = 180° - (угол M + угол N) = 180° - (30° + 90°) = 60°. Значит, угол MFD = NFD = 60° / 2 = 30°.
3. Рассмотрим треугольник MDF. В этом треугольнике угол M = углу MFD = 30°, следовательно, треугольник MDF - равнобедренный, и MD = FD = 20 см.
4. В прямоугольном треугольнике MNF катет MN лежит против угла M = 30°. Значит, MN = 1/2 * MF.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник MDF (т.к. угол MDN=90 градусов, M-N-прямая) : MF = MD + DN = 20 + DN.
6. В прямоугольном треугольнике MNF cosM = MN / MF = корень из 3 / 2 ; MN/ (20 +DN) = корень из 3 /2 (1) ; в прямоугольном треугльнике NFD cos угла NFD = DN / FD = корень из 3 /2; DN /20 = корень из 3 /2 ;DN = 10 * корень из 3.Подставим в формулу (1) и получим, что: MN/ (20 +10 * корень из 3) = корень из 3 /2. MN = (20 +10 * корень из 3)* корень из 3 /2 = 10*корень из 3 + 15

Ответ: MN = 10*корень из 3 + 15

Задача 5

В данной задаче требуется доказать, что DE = DF, где D - произвольная точка на биссектрисе BD равнобедренного треугольника ABC, а E и F - точки пересечения прямых, параллельных сторонам AB и BC, с отрезком AC соответственно.

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то угол BAC = углу BCA.
2. BD - биссектриса угла ABC, поэтому угол ABD = углу CBD.
3. DE || AB и DF || BC.
4. Угол EDB = углу ABD как накрест лежащие углы при параллельных прямых DE и AB и секущей BD. Следовательно, угол EDB = углу CBD.
5. Угол DFB = углу CBD как накрест лежащие углы при параллельных прямых DF и BC и секущей BD. Следовательно, угол DFB = углу ABD.
6. Так как угол ABD = углу CBD, то угол EDB = углу DFB.
7. В треугольнике EBD угол BED = углу BAC (соответственные углы при DE || AB и секущей AC).
8. В треугольнике DFC угол DFC = углу BCA (соответственные углы при DF || BC и секущей AC).
9. Так как угол BAC = углу BCA, то угол BED = углу DFC.
10. Рассмотрим треугольники EBD и DFC. В них:

угол EDB = углу DFB (доказано выше)

угол BED = углу DFC (доказано выше)

BD - общая сторона (так как D находится на биссектрисе BD)

1. Следовательно, треугольники EBD и DFC равны по стороне и двум прилежащим углам.
2. Из равенства треугольников следует, что DE = DF.

Ответ: DE = DF