Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°. Сумма всех углов трапеции равна 360°.
Пусть углы при одном основании равны \( \alpha \), а углы при другом основании равны \( \beta \). В равнобедренной трапеции \( \alpha + \beta = 180° \).

Возможны два случая для суммы двух углов, равной 220°:

1. Сумма двух углов при одном основании: \( 2\alpha = 220° \) или \( 2\beta = 220° \). Тогда \( \alpha = 110° \) или \( \beta = 110° \). В этом случае другой угол будет \( 180° - 110° = 70° \). Меньший угол равен 70°.
2. Сумма двух смежных углов при разных основаниях: \( \alpha + \beta = 220° \). Это противоречит свойству трапеции, где сумма таких углов равна 180°.
3. Сумма двух углов, один из которых при одном основании, а другой при другом, и эти углы не являются смежными, то есть это могут быть углы при разных основаниях, но не прилежащие к одной боковой стороне. Например, \( \alpha_1 + \beta_1 = 220° \), где \( \alpha_1 \) и \( \alpha_2 \) — углы при одном основании, \( \beta_1 \) и \( \beta_2 \) — углы при другом основании. Так как трапеция равнобедренная, \( \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha \) и \( \beta_1 = \beta_2 = \beta \). Возможны два варианта: \( 2\alpha = 220° \) или \( 2\beta = 220° \).

Следовательно, либо два больших угла равны по 110°, и тогда два меньших угла равны по \( 180° - 110° = 70° \). Либо два меньших угла равны по \( 180° - 110° = 70° \), и два больших по 110°. Сумма двух углов равна 220°, это могут быть два тупых угла \( 110° + 110° = 220° \) или один тупой и один острый, что в сумме даст 220°. Если два тупых угла равны по 110°, то меньшие углы равны \( 180° - 110° = 70° \). Если один тупой и один острый, то \( \alpha + \beta = 220° \) (невозможно) или \( \alpha_1 + \beta_1 = 220° \) (где \( \alpha_1, \beta_1 \) - углы при разных основаниях, но не смежные). Но в равнобедренной трапеции углы при основании равны. Значит, два угла по \( \alpha \) и два по \( \beta \). Сумма двух углов равна 220°. Это могут быть либо два угла при одном основании \( 2\alpha = 220° \) или \( 2\beta = 220° \), либо один угол при одном основании и один при другом. Если \( 2\alpha = 220° \), то \( \alpha = 110° \). Тогда \( \beta = 180° - 110° = 70° \). Меньший угол 70°. Если \( 2\beta = 220° \), то \( \beta = 110° \). Тогда \( \alpha = 180° - 110° = 70° \). Меньший угол 70°. Если сумма двух смежных углов \( \alpha + \beta = 180° \). Так как сумма двух углов равна 220°, то это два тупых угла, или один острый и один тупой, но не прилежащие к одной стороне. Углы при основании равны. Значит, либо \( \alpha + \alpha = 220° \) (невозможно, так как \( \alpha < 180° \)), либо \( \beta + \beta = 220° \) (невозможно, так как \( \beta < 180° \)), либо \( \alpha + \beta = 220° \) (невозможно, так как \( \alpha + \beta = 180° \)). Следовательно, сумма двух углов, равная 220°, это сумма двух углов при одном основании, и это должны быть тупые углы. Значит, \( 2\alpha = 220° \) или \( 2\beta = 220° \). Пусть \( 2\alpha = 220° \). Тогда \( \alpha = 110° \). Углы при другом основании \( \beta = 180° - \alpha = 180° - 110° = 70° \). Меньший угол равен 70°. Если \( 2\beta = 220° \), то \( \beta = 110° \). Тогда \( \alpha = 180° - \beta = 180° - 110° = 70° \). Меньший угол равен 70°. В любом случае, меньший угол трапеции равен 70°.

Ответ: 70.