Сумма двух чисел равна 11, а сумма их квадратов равна 65. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть искомые числа — \( x \) и \( y \). Согласно условию задачи, имеем систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y = 11 \\
x^2 + y^2 = 65
\end{cases}
\]

Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 11 - x \).

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[
x^2 + (11 - x)^2 = 65\]

Раскроем скобки:

\[
x^2 + (121 - 22x + x^2) = 65\]

Приведём подобные слагаемые:

\[
2x^2 - 22x + 121 = 65\]

Перенесём все члены в левую часть:

\[
2x^2 - 22x + 121 - 65 = 0\]

Решим полученное квадратное уравнение:

\[
2x^2 - 22x + 56 = 0\]

Разделим обе части на 2:

\[
x^2 - 11x + 28 = 0\]

Найдём дискриминант:

\[
D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9\]

Найдем корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 3}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

Если \( x = 7 \), то \( y = 11 - 7 = 4 \).

\[
x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 3}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

Если \( x = 4 \), то \( y = 11 - 4 = 7 \).

Проверим второе условие: \( 7^2 + 4^2 = 49 + 16 = 65 \). Условие выполнено.

Ответ: числа 7 и 4.