Сумма двух чисел равна -10, а сумма их квадратов равна 68. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть первое число будет \( x \), а второе число \( y \).

По условию задачи имеем систему уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = -10 \\ x^2 + y^2 = 68 \end{cases} \]

Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = -10 - x \).

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ x^2 + (-10 - x)^2 = 68 \]

\[ x^2 + (100 + 20x + x^2) = 68 \]

\[ 2x^2 + 20x + 100 - 68 = 0 \]

\[ 2x^2 + 20x + 32 = 0 \]

Разделим всё на 2:

\[ x^2 + 10x + 16 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 \]

Найдём корни \( x \):

\[ x_1 = \frac{-10 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-10 + 6}{2} = -2 \]

\[ x_2 = \frac{-10 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-10 - 6}{2} = -8 \]

Теперь найдём соответствующие значения \( y \):

Если \( x = -2 \), то \( y = -10 - (-2) = -8 \).

Если \( x = -8 \), то \( y = -10 - (-8) = -2 \).

Таким образом, числа — это -2 и -8.

Проверим: \( -2 + (-8) = -10 \) и \( (-2)^2 + (-8)^2 = 4 + 64 = 68 \).

Ответ: -2; -8.