62 Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. 1. Воспользовавшись формулой Герона, найдите площадь треугольника. Ответ: 2. Найдите наименьшую высоту треугольника.

Ответ: 126 см²; 12,6 см

Решение:

1. Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

Полупериметр треугольника: \[p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27\]

Площадь треугольника: \[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{27(27 - 13)(27 - 20)(27 - 21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 9 \cdot 2^2 \cdot 7^2} = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 126\]

Площадь треугольника равна 126 см².

2. Найдем наименьшую высоту треугольника.

Наименьшая высота соответствует наибольшей стороне. Площадь треугольника также может быть найдена как: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\]где \( a \) — сторона, а \( h_a \) — высота, проведенная к этой стороне.

Для стороны 21 см: \[126 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h\] \[h = \frac{2 \cdot 126}{21} = \frac{252}{21} = 12\]

Наименьшая высота равна 12 см.

Ответ: 126 см²; 12 см