8. Стороны AC и BC треугольника ABC равны. Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 50°. Найдите угол BAC. Ответ дайте в градусах.

Дано:
\(AC = BC\)
CM - биссектриса \(\angle BCD\)
\(\angle MCD = 50^\circ\)

Найти: \(\angle BAC\)

Решение:

1. Т.к. CM - биссектриса \(\angle BCD\), то \(\angle BCM = \angle MCD = 50^\circ\).
Тогда \(\angle BCD = \angle BCM + \angle MCD = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ\).

2. \(\angle BCD\) - внешний угол \(\triangle ABC\) при вершине C. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.
Поэтому \(\angle BCD = \angle BAC + \angle ABC\).

3. Т.к. \(AC = BC\), то \(\triangle ABC\) - равнобедренный с основанием AB. Значит, \(\angle BAC = \angle ABC\).

4. Подставим \(\angle BAC\) вместо \(\angle ABC\) в равенство \(\angle BCD = \angle BAC + \angle ABC\):
\(\angle BCD = \angle BAC + \angle BAC = 2 \cdot \angle BAC\)

5. Выразим \(\angle BAC\):
\(\angle BAC = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ\)

Ответ: 50°