Сторона ромба равна 7, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 1. Найдите площадь этого ромба.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \). Расстояние от точки \( O \) до стороны ромба (например, \( AB \)) равно высоте \( h \) в треугольнике \( AOB \), проведённой из \( O \) к гипотенузе \( AB \).

Площадь ромба можно найти как произведение стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Однако, в данном случае нам известно расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны, а не высота всего ромба.

Рассмотрим треугольник \( AOB \). Его катеты равны половинам диагоналей, то есть \( AO = \frac{1}{2} AC \) и \( BO = \frac{1}{2} BD \). Сторона ромба \( AB = 7 \).

Площадь треугольника \( AOB \) равна \( S_{AOB} = \frac{1}{2} × AO × BO \).

Также площадь треугольника \( AOB \) можно найти как \( S_{AOB} = \frac{1}{2} × AB × h_{O} \), где \( h_{O} \) — расстояние от \( O \) до \( AB \), равное 1.

\[ S_{AOB} = \frac{1}{2} × 7 × 1 = 3.5 \]

Площадь всего ромба равна сумме площадей четырёх таких равных треугольников (\( AOB \), \( BOC \), \( COD \), \( DOA \)).

\[ S_{ромба} = 4 × S_{AOB} = 4 × 3.5 = 14 \]

Ответ: 14.