Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 24, боковое ребро равно 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение:

Для нахождения площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, нам нужно знать площадь одной боковой грани и количество таких граней. Пирамида правильная, значит, в основании лежит правильный шестиугольник, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

1. Найдём апофему (высоту боковой грани) пирамиды.

В основании лежит правильный шестиугольник со стороной \( a = 24 \). В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника, то есть \( R = 24 \).

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный центром основания, серединой стороны основания и вершиной пирамиды. Это прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза — боковое ребро пирамиды \( l = 37 \).
• Один катет — расстояние от центра основания до середины стороны (это высота правильного треугольника, на которые делится шестиугольник, или апофема основания). Вычислим её: \( r = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \).
• Второй катет — апофема пирамиды \( h_a \).

По теореме Пифагора:

\( h_a^2 = l^2 - r^2 \)

\( h_a^2 = 37^2 - (12\sqrt{3})^2 \)

\( h_a^2 = 1369 - (144 \cdot 3) \)

\( h_a^2 = 1369 - 432 \)

\( h_a^2 = 937 \)

\( h_a = \sqrt{937} \) (Это число не является полным квадратом, оставим в таком виде).

2. Найдём площадь одной боковой грани.

Площадь одной боковой грани (равнобедренного треугольника) равна:

\( S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \)

\( S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \sqrt{937} \)

\( S_{грани} = 12\sqrt{937} \)

3. Найдём площадь боковой поверхности пирамиды.

Правильная шестиугольная пирамида имеет 6 боковых граней.

\( S_{бок} = 6 \cdot S_{грани} \)

\( S_{бок} = 6 \cdot 12\sqrt{937} \)

\( S_{бок} = 72\sqrt{937} \)

Проверка:

Сторона основания \( a = 24 \).

Боковое ребро \( l = 37 \).

Апофема основания \( r = 12\sqrt{3} \).

Апофема пирамиды \( h_a = \sqrt{37^2 - (12\sqrt{3})^2} = \sqrt{1369 - 432} = \sqrt{937} \).

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} (6 \cdot 24) \cdot \sqrt{937} = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \sqrt{937} = 72\sqrt{937} \).

Ответ: 72\(\sqrt{937}\).