Стержень АВ длиной 2,0 м движется, опираясь на стену и пол. В момент времени, показанный на рисунке, угол АВС составляет 30°, скорость точки В равна 1,2 м/с. Найдите величину скорости точки D (середина стержня) в этот же момент времени. Ответ дайте в системе СИ с точностью до двух значащих цифр.

Решение:

Задача описывает движение стержня, опирающегося на стену и пол. Нам известны длина стержня, угол и скорость одной из его точек. Необходимо найти скорость середины стержня.

Введем систему координат: ось X направлена вдоль пола, ось Y — вдоль стены. Точка А находится на оси Y, точка В — на оси X.

Положение точки А на оси Y: \( y_A = L \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \alpha \), где \( L \) — длина стержня, \( \alpha \) — угол стержня с полом.

Положение точки В на оси X: \( x_B = L \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cos \alpha \).

Скорость точки В: \( v_B = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{dx_B}{dt} \).

В данной задаче, угол АВС = 30°. Пусть \( \alpha \) — угол стержня с осью X. Тогда \( \alpha + 30^\circ = 90^\circ \), откуда \( \alpha = 60^\circ \).

Положение точки D (середина стержня) имеет координаты:

\( x_D = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{x_A + x_B}{2} \) и \( y_D = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{y_A + y_B}{2} \).

Поскольку точка А находится на стене, \( x_A = 0 \), а точка В на полу, \( y_B = 0 \).

\( x_A = 0 \)

\( y_A = L \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sin \alpha = 2.0 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sin 60^\circ = 2.0 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.732 \) м.

\( x_B = L \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cos \alpha = 2.0 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cos 60^\circ = 2.0 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 0.5 = 1.0 \) м.

Скорость точки В: \( v_B = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{dx_B}{dt} = 1.2 \) м/с. Это значит, что \( \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{d(L \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cos \alpha)}{dt} = L \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sin \alpha \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{d\alpha}{dt}} = 1.2 \).

\( 2.0 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sin 60^\circ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{d\alpha}{dt}} = 1.2 \).

\( 2.0 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{d\alpha}{dt}} = 1.2 \).

\( -\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sqrt{3} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{d\alpha}{dt}} = 1.2 \).

\( \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{d\alpha}{dt}} = -\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1.2}{\sqrt{3}} = -\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1.2 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sqrt{3}}{3} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \approx -0.6928 \) рад/с.

Теперь найдем скорость точки D. Координаты точки D:

\( x_D = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{x_A + x_B}{2} = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{0 + L \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cos \alpha}{2} = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{L}{2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cos \alpha \).

\( y_D = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{y_A + y_B}{2} = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{L \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sin \alpha + 0}{2} = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{L}{2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sin \alpha \).

Скорость точки D:

\( v_{Dx} = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{dx_D}{dt} = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{d}{dt} (\frac{L}{2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cos \alpha) = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{L}{2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sin \alpha \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{d\alpha}{dt}}) \).

\( v_{Dy} = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{dy_D}{dt} = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{d}{dt} (\frac{L}{2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sin \alpha) = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{L}{2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cos \alpha \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{d\alpha}{dt}} \).

Подставим значения:

\( v_{Dx} = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{2.0}{2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sin 60^\circ) \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1.2}{\sqrt{3}}) \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \approx 1.0 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1.2}{\sqrt{3}}) \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \approx 1.0 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1.2}{\sqrt{3}} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \approx 0.6 \) м/с.

\( v_{Dy} = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{2.0}{2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cos 60^\circ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1.2}{\sqrt{3}}) \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \approx 1.0 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 0.5 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1.2}{\sqrt{3}}) \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \approx -0.3464 \) м/с.

Полная скорость точки D:

\( v_D = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sqrt{v_{Dx}^2 + v_{Dy}^2}} = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sqrt{(0.6)^2 + (-0.3464)^2}} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \approx \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sqrt{0.36 + 0.1200} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \approx \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \sqrt{0.4800}} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \approx 0.6928 \) м/с.

Округлим до двух значащих цифр: 0,69 м/с.

Ответ: 0,69 м/с.