Спускаемый аппарат массой 2 900 кг с космонавтами на борту отсоединился от международной космической станции (МКС), находящейся на высоте 400 км над поверхностью Земли. Какая масса сгоревшего топлива маршевого двигателя должна вылететь из его сопла, чтобы скорость спускаемого аппарата уменьшилась на 1%? Временем вылета продуктов горения из сопла можно пренебречь. Ускорение свободного падения на орбите МКС равно 8,63 м/с2. Радиус Земли равен 6 400 км. Скорость истечения раскаленных газов из сопла равна 11 км/с. Ответ укажите в СИ и округлите до десятых.

Для решения задачи будем использовать закон сохранения импульса.

1. Определим начальную скорость аппарата. Так как уменьшение скорости составляет 1%, то изменение скорости равно: $$ \Delta v = 0.01v $$
2. Применим закон сохранения импульса: $$ m_т u = m \Delta v $$ где:
   • ( m_т ) – масса сгоревшего топлива,
   • ( u ) – скорость истечения газов из сопла,
   • ( m ) – масса аппарата,
   • ( \Delta v ) – изменение скорости аппарата.
3. Выразим массу топлива: $$ m_т = \frac{m \Delta v}{u} $$
4. Подставим численные значения в СИ:
   • ( m = 2900 \text{ кг} )
   • ( \Delta v = 0.01v ). Для оценки ( v ) используем первую космическую скорость для высоты 400 км. ( v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}} ), где ( G ) - гравитационная постоянная, ( M ) - масса Земли, ( R ) - радиус Земли, ( h ) - высота. Примем, что на данной высоте ( v \approx 7700 \text{ м/с} ). Тогда ( \Delta v = 0.01 \times 7700 = 77 \text{ м/с} )
   • ( u = 11 \text{ км/с} = 11000 \text{ м/с} )
5. Произведем расчет: $$ m_т = \frac{2900 \text{ кг} \times 77 \text{ м/с}}{11000 \text{ м/с}} = \frac{223300}{11000} \approx 20.3 \text{ кг} $$

Ответ: 20.3 кг