Сплошной цилиндр массой m катится без скольжения со скоростью v. Определите полную кинетическую энергию сплошного цилиндра.

Решение:

Полная кинетическая энергия тела, катящегося без скольжения, складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения.

Кинетическая энергия поступательного движения: \( E_{пост} = \frac{1}{2}mv^2 \)

Кинетическая энергия вращательного движения: \( E_{вращ} = \frac{1}{2}I\omega^2 \)

Для сплошного цилиндра момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс: \( I = \frac{1}{2}mr^2 \), где \( r \) — радиус цилиндра.

Условие качения без скольжения: \( v = \omega r \), следовательно, \( \omega = \frac{v}{r} \).

Подставим \( I \) и \( \omega \) в формулу кинетической энергии вращательного движения:

\( E_{вращ} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}mr^2\right)\left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{4}mr^2\frac{v^2}{r^2} = \frac{1}{4}mv^2 \)

Полная кинетическая энергия: \( E_{полная} = E_{пост} + E_{вращ} \)

\( E_{полная} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right)mv^2 = \left(\frac{2}{4} + \frac{1}{4}\right)mv^2 = \frac{3}{4}mv^2 \)

В данном случае, варианты ответа представлены в виде дробей. Сравним полученный результат с предложенными вариантами.

1. \( \frac{mv^2}{2} \)
2. \( \frac{3mv^2}{2} \)
3. \( \frac{3mv^2}{4} \)
4. \( \frac{7mv^2}{10} \)
5. \( mv^2 \)

Наш результат \( \frac{3}{4}mv^2 \) соответствует варианту 3.

Выберите один ответ: 3