Solve the systems of equations: {x + 2y = 4, {3x - 4y = 2. {3x - 5y = 14, {2x - 7y = 2. {6(x - 3) = 7y - 1, {2(y + 6) = 3x + 2.

Решение:

Система 1:

• \[ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x - 4y = 2 \end{cases} \]
• Умножим первое уравнение на 2: \[ \begin{cases} 2(x + 2y) = 2(4) \\ 3x - 4y = 2 \end{cases} \]
• \[ \begin{cases} 2x + 4y = 8 \\ 3x - 4y = 2 \end{cases} \]
• Сложим уравнения: \[ (2x + 4y) + (3x - 4y) = 8 + 2 \]
• \[ 5x = 10 \]
• \[ x = 2 \]
• Подставим x=2 в первое уравнение: \[ 2 + 2y = 4 \]
• \[ 2y = 2 \]
• \[ y = 1 \]

Система 2:

• \[ \begin{cases} 3x - 5y = 14 \\ 2x - 7y = 2 \end{cases} \]
• Умножим первое уравнение на 7, а второе на 5: \[ \begin{cases} 7(3x - 5y) = 7(14) \\ 5(2x - 7y) = 5(2) \end{cases} \]
• \[ \begin{cases} 21x - 35y = 98 \\ 10x - 35y = 10 \end{cases} \]
• Вычтем второе уравнение из первого: \[ (21x - 35y) - (10x - 35y) = 98 - 10 \]
• \[ 11x = 88 \]
• \[ x = 8 \]
• Подставим x=8 во второе уравнение: \[ 2(8) - 7y = 2 \]
• \[ 16 - 7y = 2 \]
• \[ -7y = -14 \]
• \[ y = 2 \]

Система 3:

• \[ \begin{cases} 6(x - 3) = 7y - 1 \\ 2(y + 6) = 3x + 2 \end{cases} \]
• Раскроем скобки: \[ \begin{cases} 6x - 18 = 7y - 1 \\ 2y + 12 = 3x + 2 \end{cases} \]
• Приведем к стандартному виду: \[ \begin{cases} 6x - 7y = 17 \\ -3x + 2y = -10 \end{cases} \]
• Умножим второе уравнение на 2: \[ \begin{cases} 6x - 7y = 17 \\ 2(-3x + 2y) = 2(-10) \end{cases} \]
• \[ \begin{cases} 6x - 7y = 17 \\ -6x + 4y = -20 \end{cases} \]
• Сложим уравнения: \[ (6x - 7y) + (-6x + 4y) = 17 - 20 \]
• \[ -3y = -3 \]
• \[ y = 1 \]
• Подставим y=1 в первое уравнение: \[ 6x - 7(1) = 17 \]
• \[ 6x - 7 = 17 \]
• \[ 6x = 24 \]
• \[ x = 4 \]

Ответ:

• Система 1: x = 2, y = 1
• Система 2: x = 8, y = 2
• Система 3: x = 4, y = 1