Solve the system of linear equations: x - 3y + z = 6 2x - y + 3z = 9 -x + 4y + 5z = 5

Решение системы линейных уравнений:

Запишем систему в матричном виде:

\[\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 5 \end{pmatrix}\]

Найдём определитель матрицы коэффициентов:

\[ D = 1((-1)(5) - (3)(4)) - (-3)( (2)(5) - (3)(-1) ) + 1( (2)(4) - (-1)(-1) ) \]\[ D = 1(-5 - 12) + 3(10 + 3) + 1(8 - 1) \]\[ D = -17 + 3(13) + 7 \]\[ D = -17 + 39 + 7 = 29 \]

Так как определитель не равен нулю, система имеет единственное решение.

Найдём определители для x, y, z:

\[ D_x = \begin{vmatrix} 6 & -3 & 1 \\ 9 & -1 & 3 \\ 5 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 6((-1)(5) - (3)(4)) - (-3)( (9)(5) - (3)(5) ) + 1( (9)(4) - (-1)(5) ) \]\[ D_x = 6(-5 - 12) + 3(45 - 15) + 1(36 + 5) \]\[ D_x = 6(-17) + 3(30) + 41 \]\[ D_x = -102 + 90 + 41 = 29 \]
\[ D_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 9 & 3 \\ -1 & 5 & 5 \end{vmatrix} = 1((9)(5) - (3)(5)) - 6( (2)(5) - (3)(-1) ) + 1( (2)(5) - (9)(-1) ) \]\[ D_y = 1(45 - 15) - 6(10 + 3) + 1(10 + 9) \]\[ D_y = 30 - 6(13) + 19 \]\[ D_y = 30 - 78 + 19 = -29 \]
\[ D_z = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 6 \\ 2 & -1 & 9 \\ -1 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 1((-1)(5) - (9)(4)) - (-3)( (2)(5) - (9)(-1) ) + 6( (2)(4) - (-1)(-1) ) \]\[ D_z = 1(-5 - 36) + 3(10 + 9) + 6(8 - 1) \]\[ D_z = -41 + 3(19) + 6(7) \]\[ D_z = -41 + 57 + 42 = 58 \]

Найдём значения x, y, z:

\[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{29}{29} = 1 \]\[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{-29}{29} = -1 \]\[ z = \frac{D_z}{D} = \frac{58}{29} = 2 \]

Проверим решение:

\[ 1 - 3(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 \]\[ 2(1) - (-1) + 3(2) = 2 + 1 + 6 = 9 \]\[ -1 + 4(-1) + 5(2) = -1 - 4 + 10 = 5 \]

Ответ: x = 1, y = -1, z = 2.