Solve the system of inequalities: \(\begin{cases} 7x + 3 \ge 5(x - 4) + 1 \\ 4x + 1 \le 43 - 3(7 + x) \end{cases}\)

Решение системы неравенств:

Для решения системы неравенств, сначала решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство: \( 7x + 3 \ge 5(x - 4) + 1 \)
• Раскроем скобки: \( 7x + 3 \ge 5x - 20 + 1 \)
• Упростим: \( 7x + 3 \ge 5x - 19 \)
• Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а константы — в другую: \( 7x - 5x \ge -19 - 3 \)
• Получим: \( 2x \ge -22 \)
• Разделим обе части на 2: \( x \ge -11 \)
2. Второе неравенство: \( 4x + 1 \le 43 - 3(7 + x) \)
• Раскроем скобки: \( 4x + 1 \le 43 - 21 - 3x \)
• Упростим: \( 4x + 1 \le 22 - 3x \)
• Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а константы — в другую: \( 4x + 3x \le 22 - 1 \)
• Получим: \( 7x \le 21 \)
• Разделим обе части на 7: \( x \le 3 \)

Теперь объединим решения обоих неравенств. Нам нужны значения \( x \), которые удовлетворяют условиям \( x \ge -11 \) и \( x \le 3 \).

Это означает, что \( x \) находится в промежутке от -11 до 3, включая сами концы.

Ответ: \( -11 \le x \le 3 \).