Solve the system of equations: $$x - 2y + 3z = -1$$ $$2x + y - z = -5$$ $$3x - y + z = 5$$

Решение:

Данная система уравнений:

\( \begin{cases} x - 2y + 3z = -1 \\ 2x + y - z = -5 \\ 3x - y + z = 5 \end{cases} \)

Сложим второе и третье уравнения:

\( (2x + y - z) + (3x - y + z) = -5 + 5 \)

\( 5x = 0 \)

\( x = 0 \)

Подставим \( x = 0 \) в первое и второе уравнения:

\( 0 - 2y + 3z = -1 \Rightarrow -2y + 3z = -1 \)

\( 2(0) + y - z = -5 \Rightarrow y - z = -5 \)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

\( \begin{cases} -2y + 3z = -1 \\ y - z = -5 \end{cases} \)

Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = z - 5 \).

Подставим \( y \) в первое уравнение:

\( -2(z - 5) + 3z = -1 \)

\( -2z + 10 + 3z = -1 \)

\( z + 10 = -1 \)

\( z = -1 - 10 \)

\( z = -11 \)

Найдем \( y \), подставив \( z = -11 \) в \( y = z - 5 \):

\( y = -11 - 5 \)

\( y = -16 \)

Проверим полученные значения в исходных уравнениях:

1. \( 0 - 2(-16) + 3(-11) = 32 - 33 = -1 \) (Верно)

2. \( 2(0) + (-16) - (-11) = -16 + 11 = -5 \) (Верно)

3. \( 3(0) - (-16) + (-11) = 16 - 11 = 5 \) (Верно)

Ответ: \( x = 0, y = -16, z = -11 \).