Solve the system of equations: \(\frac{7x-1}{4} - \frac{2x+3}{3} = \frac{3x-5y}{2},\) \(\frac{5x-3y}{3} + \frac{x+5y}{2} = 3x-y.\)

Решение:

Умножим первое уравнение на 12, а второе на 6, чтобы избавиться от дробей:

1. \(12 \cdot (\frac{7x-1}{4} - \frac{2x+3}{3}) = 12 \cdot \frac{3x-5y}{2} \implies 3(7x-1) - 4(2x+3) = 6(3x-5y) \implies 21x - 3 - 8x - 12 = 18x - 30y \implies 13x - 15 = 18x - 30y \implies 5x - 30y = -15 \implies x - 6y = -3\)

2. \(6 \cdot (\frac{5x-3y}{3} + \frac{x+5y}{2}) = 6 \cdot (3x-y) \implies 2(5x-3y) + 3(x+5y) = 18x - 6y \implies 10x - 6y + 3x + 15y = 18x - 6y \implies 13x + 9y = 18x - 6y \implies 5x - 15y = 0 \implies x - 3y = 0\)

Теперь решим полученную систему уравнений:

\(\begin{cases} x - 6y = -3 \\ x - 3y = 0 \end{cases}\)

Из второго уравнения выразим \( x \): \( x = 3y \).

Подставим \( x = 3y \) в первое уравнение:

\(3y - 6y = -3 \implies -3y = -3 \implies y = 1\)

Подставим \( y = 1 \) в \( x = 3y \):

\(x = 3(1) = 3\)

Ответ: \( x=3, y=1 \).